外代数

外代数 $\bigwedge^{\bullet} V$

def.exterior-algebra · 定义 · 线性代数 · 张量

陈述

把各次外幂直和起来：

\bigwedge^{\bullet} V := \bigoplus_{k \ge 0} \bigwedge^{k} V \qquad (\bigwedge^{0} V := K,\ \bigwedge^{1} V := V)

它按「先张量再取像」的乘法 $\wedge$ 构成一个分次交换代数：

(u \wedge v) \wedge w = u \wedge (v \wedge w), \qquad v \wedge w = (-1)^{|v| |w|}\ w \wedge v

（ $|v|$ 是元素的次数。「分次交换」意味着奇次元素之间反交换。）

⭐ 外代数是「带符号的多项式代数」：它与对称代数一起构成两个极端 —— 对称代数允许交换、外代数强制反交换。两者的共同来源是「把 $V^{\otimes k}$ 按对称群作用取商 / 取不变量」。

⭐ 用途清单：微分形式（ $\bigwedge^{k}(\mathbb{R}^{n})^{\ast}$ 就是 $k$ -形式空间）、体积与行列式、Clifford 代数（把 $\wedge$ 换成 $v^{2} = -\|v\|^{2}$ ）、de Rham 复形。

⚠ 它是非交换的（奇次部分反交换），但分次交换：这一点在写符号时最容易错（换两个奇元素时要带一个负号）。