介值定理

设 $p(z) = a_n z^{n} + \cdots + a_0$，$n \ge 1$，$a_n \ne 0$。

1. 在某个闭圆盘上取到最小模：由 $|p(z)| \ge |a_n||z|^{n} - \sum_{k < n} |a_k||z|^{k}$，当 $|z| \to \infty$ 时 $|p(z)| \to +\infty$；特别地存在 $R$ 使 $|z| > R$ 时 $|p(z)| > |p(0)|$。于是 $z \mapsto |p(z)|$ 在紧集 $\{|z| \le R\}$ 上取到最小值（最值定理，用到 $\mathbb{R}$ 的完备性 + 紧性），而它在盘外不可能更小。记最小值点为 $z_0$，$m := |p(z_0)|$。
2. 若 $m > 0$ 则矛盾：记 $w := z - z_0$，把 $p$ 在 $z_0$ 处展开成 $w$ 的多项式：

（$k$ 是第一个非零项的阶。）取 $w = t\,\zeta$，其中 $\zeta^{k} = -p(z_0)/c_k$ 的一个 $k$ 次方根、$t > 0$ 很小。由复数开 $k$ 次方，这样的 $\zeta$ 总存在。则

对充分小的 $t$ 成立，与 $z_0$ 的最小性矛盾。

1. 故 $m = 0$，即 $p(z_0) = 0$：$p$ 有根。
2. 归纳得完全分解：由因式定理 $p = (z - z_0) p_1$，$\deg p_1 = n - 1$，对 $p_1$ 重复第 1–3 步，$n$ 步之后 $p$ 分解成 $n$ 个一次因子之积（常数因子提到最前）。
3. 唯一性：由 $K[x]$ 是唯一分解整环（同一次序与常数因子之外唯一），也由「根的个数不超过次数」直接得到。∎

设 $f(a) f(b) < 0$。不妨设 $f(a) < 0 < f(b)$ —— 于是 $c = 0$ 介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间。由介值定理，存在 $\xi \in [a, b]$ 使 $f(\xi) = 0$。

再把 $\xi$ 取到端点之内：若 $f(a) f(b) < 0$ 则 $f(a) \ne 0$、$f(b) \ne 0$，所以 $\xi \ne a$、$\xi \ne b$，即 $\xi \in (a, b)$。∎

设 $f$ 在区间 $I$ 上严格递增且连续。

1. $f(I)$ 是区间：取 $y_1 < y_2$ 属于 $f(I)$，即 $y_i = f(x_i)$。由严格递增 $x_1 < x_2$。任取 $y \in (y_1, y_2)$，则 $f(x_1) < y < f(x_2)$，由介值定理在 $[x_1, x_2]$ 上存在 $x$ 使 $f(x) = y$，故 $y \in f(I)$。
2. $f$ 是双射：严格递增给出单射，$f(I)$ 的定义给出满射。
3. $f^{-1}$ 递增：若 $y_1 < y_2$ 而 $f^{-1}(y_1) \ge f^{-1}(y_2)$，由 $f$ 递增就有 $y_1 \ge y_2$，矛盾。
4. $f^{-1}$ 连续：设 $y_0 = f(x_0)$，给定 $\varepsilon > 0$。由 $x_0$ 在 $I$ 内部的情形（端点同理）取 $x_0 - \varepsilon < x_0 < x_0 + \varepsilon$ 都落在 $I$ 内。令 $y_{-} := f(x_0 - \varepsilon)$、$y_{+} := f(x_0 + \varepsilon)$，取 $\delta := \min\{y_0 - y_{-},\ y_{+} - y_0\} > 0$。则 $|y - y_0| < \delta$ 时 $y_{-} < y < y_{+}$，由第 3 步的单调性得 $x_0 - \varepsilon < f^{-1}(y) < x_0 + \varepsilon$，即 $|f^{-1}(y) - x_0| < \varepsilon$。∎

不妨设 $f(a) < c < f(b)$。令

1. $a \in S$，$b \notin S$，所以 $S$ 非空且有上界 $b$。由确界原理，$\xi := \sup S$ 存在，且 $\xi \in [a, b]$。
2. $f(\xi) \le c$：由上确界的定义，存在 $s_n \in S$ 且 $s_n \to \xi$；$f$ 连续给出 $f(s_n) \to f(\xi)$，而 $f(s_n) \le c$，由保序性得 $f(\xi) \le c$。
3. $f(\xi) \ge c$：若 $f(\xi) < c$，取 $\eta := (c - f(\xi)) / 2 > 0$ 在连续性里，得到 $\delta > 0$ 使 $|x - \xi| < \delta$ 时 $f(x) < c$。于是 $x := \min\{\xi + \delta / 2,\ b\}$ 满足 $f(x) < c$，即 $x \in S$；但 $x > \xi$ 与 $\xi = \sup S$ 矛盾（当 $\xi = b$ 时第 2 步已给出 $f(b) \le c$，而 $f(b) > c$，矛盾）。
4. 两步合起来：$f(\xi) = c$。∎