紧集上连续 ⟹ 一致连续

① 连续 $\implies$ 可积。 设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，令 $M := \sup |f|$。由 Cantor 定理，$f$ 在 $[a, b]$ 上一致连续：对 $\varepsilon > 0$ 取 $\delta > 0$，使 $|x - y| < \delta$ 时 $|f(x) - f(y)| < \dfrac{\varepsilon}{b - a}$。

取分割 $P$ 使 $\|P\| < \delta$，则每段上 $\omega_i \le \dfrac{\varepsilon}{b - a}$，于是

由振幅判据可积。

② 单调 $\implies$ 可积。 设 $f$ 递增。取等距分割 $x_i = a + i\,(b - a)/n$，则第 $i$ 段上 $M_i = f(x_i)$、$m_i = f(x_{i-1})$，振幅和

（这是裂项：中间的 $f(x_i)$ 全部抵消。）

③ 有限个不连续点 $\implies$ 可积。 把 $[a, b]$ 分成有限段，每段内部连续、端点处或为不连续点；对每一段用 ①，再把分割在端点处接起来即可。

④ Dirichlet 函数不可积。 任取分割 $P$：每个小区间同时含有理数与无理数（稠密性），故 $M_i = 1$、$m_i = 0$，振幅和 $U - L = \sum \Delta x_i = b - a$ 与 $P$ 无关，永远不小于 $\varepsilon = b - a$。由振幅判据不可积。∎

反证。设 $f$ 在紧度量空间 $X$ 上连续但不一致连续。则存在 $\varepsilon_0 > 0$，使对每个 $\delta > 0$ 都能找到两点距离小于 $\delta$、函数值却相差至少 $\varepsilon_0$：

即：对每个 $n$ 都能在 $X$ 中取到两点，同时满足下面两个条件 ——

1. $X$ 紧 $\implies$ 列紧，故 $\{x_n\}$ 有子列 $x_{n_k} \to x^{*} \in X$。
2. 由 $d(x_{n_k}, x_{n_k}') < 1/n_k \to 0$ 与三角不等式，$x_{n_k}' \to x^{*}$ 也成立。
3. $f$ 在 $x^{$}x∗ 连续，所以 $f(x_{n_k}) \to f(x^{$}) 且 $f(x_{n_k}') \to f(x^{*})$。
4. 于是 $|f(x_{n_k}) - f(x_{n_k}')| \le |f(x_{n_k}) - f(x^{$})| + |f(x^{}) - f(x_{n_k}')| \to 0，与它恒 $\ge \varepsilon_0$ 矛盾。∎