哪些函数可积

谁指向它（入边）

推出 1

• 可积的振幅判据、紧集上连续 ⟹ 一致连续、最值定理 ⟹ 本页推出
  振幅判据 + 一致连续 $\implies$ 可积性三例

  ① 连续 $\implies$ 可积。 设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，令 $M := \sup |f|$。由 Cantor 定理，$f$ 在 $[a, b]$ 上一致连续：对 $\varepsilon > 0$ 取 $\delta > 0$，使 $|x - y| < \delta$ 时 $|f(x) - f(y)| < \dfrac{\varepsilon}{b - a}$。

  取分割 $P$ 使 $\|P\| < \delta$，则每段上 $\omega_i \le \dfrac{\varepsilon}{b - a}$，于是

  $$U(f, P) - L(f, P) = \sum_i \omega_i \Delta x_i \le \frac{\varepsilon}{b - a} \sum_i \Delta x_i = \varepsilon$$

  由振幅判据可积。

  ② 单调 $\implies$ 可积。 设 $f$ 递增。取等距分割 $x_i = a + i\,(b - a)/n$，则第 $i$ 段上 $M_i = f(x_i)$、$m_i = f(x_{i-1})$，振幅和

  $$U - L = \sum_{i=1}^{n} \bigl( f(x_i) - f(x_{i-1}) \bigr)\frac{b - a}{n} = \bigl( f(b) - f(a) \bigr)\frac{b - a}{n} \xrightarrow{\;n \to \infty\;} 0$$

  （这是裂项：中间的 $f(x_i)$ 全部抵消。）

  ③ 有限个不连续点 $\implies$ 可积。 把 $[a, b]$ 分成有限段，每段内部连续、端点处或为不连续点；对每一段用 ①，再把分割在端点处接起来即可。

  ④ Dirichlet 函数不可积。 任取分割 $P$：每个小区间同时含有理数与无理数（稠密性），故 $M_i = 1$、$m_i = 0$，振幅和 $U - L = \sum \Delta x_i = b - a$ 与 $P$ 无关，永远不小于 $\varepsilon = b - a$。由振幅判据不可积。∎

  ① 里用的正是「紧集上连续 $\implies$ 一致连续」—— 这是 ② 之外唯一需要紧性的地方，而 ② 靠的是单调（振幅自动沿分割点裂项）。