可积 ⟺ 不连续点零测

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界且 Riemann 可积。

1. 可测性：Riemann 可积给出上、下简单函数序列

（对一列模趋于零的分割），满足 $\varphi_n \le f \le \psi_n$ 且 $\int (\psi_n - \varphi_n) = U(f, P_n) - L(f, P_n) \to 0$（这里 $\int$ 是 Lebesgue 积分，对简单函数与 Riemann 积分一致）。于是 $f$ 是简单函数的上确界，因而可测。

1. 两个积分相等：$\int \varphi_n \to \int_a^b f$（Riemann 侧，由下和的性质），而 $\varphi_n \uparrow \bar{f} \le f$ 点态单调上升，由单调收敛定理 $\int \varphi_n \to \int \bar{f}$，其中 $\bar{f} := \sup_n \varphi_n$。两式比较得 $\int \bar{f} = \int_a^b f$。
2. 同理对上简单函数 $\psi_n$ 用控制收敛（或单调下降）得 $\int \underline{f} = \int_a^b f$，其中 $\underline{f} := \inf_n \psi_n$。
3. 由 $\underline{f} \le f \le \bar{f}$ 与两者积分相等，得 $f = \bar{f}$ a.e.，于是 $f$ Lebesgue 可积且 $\int_{[a, b]} f\,dm = \int_a^b f$。

反之：Dirichlet 函数 Lebesgue 可积（积分为 $0$）而 Riemann 不可积（见「哪些函数可积」），故不反向成立。∎

记 $D$ 为 $f$ 的不连续点集，并设 $|f| \le M$。

($\Longleftarrow$) 设 $D$ 是零测集，给定 $\varepsilon > 0$。

1. 取开区间族 $\{ J_k \}$ 覆盖 $D$，且 $\sum_k |J_k| < \varepsilon / (4M + 1)$。
2. 令 $K := [a, b] \setminus \bigcup_k J_k$ —— 这是紧集，且 $f$ 在 $K$ 上每点连续。由一致性（$K$ 紧）可得：存在 $\delta > 0$，使 $|x - y| < \delta$、$x, y \in K$ 时 $|f(x) - f(y)| < \varepsilon / (2(b - a))$。
3. 取分割，使每个小区间要么整个落在某个 $J_k$ 里（第一类），要么长度 $< \delta$（第二类）。第一类上 $\omega_i \le 2M$，共占长度 $< \varepsilon /(4M + 1)$；第二类上 $\omega_i \le \varepsilon / (2(b - a))$。于是

由振幅判据可积。

($\implies$) 设 $f$ 可积。对每个 $k \ge 1$ 取分割 $P_k$ 使 $\sum_i \omega_i \Delta x_i < 1 / k$。把「$\omega_i > 1/k$」的那些小区间记为 $J_{k,1}, \ldots$，则

更精细地取 $\varepsilon / k$ 代替 $1/k$，可得 $\sum_j |J_{k,j}| < \varepsilon$。所以集合 $D_k := \bigcup_j J_{k,j}$ 是零测集的「$\varepsilon$-近似」。

1. 现在关键的一步：$D \subseteq \bigcup_{k} \overline{D_k}$ —— 若 $f$ 在 $x$ 处不连续，则 $f$ 在该点的振幅 $\omega(f, x) > 1/k$ 对某个 $k$ 成立，于是 $x$ 属于那些长度可以任意小的区间的闭包。于是 $D$ 被可数多个零测集覆盖，本身是零测集。∎