积分的保序与估计

设 $|f| \le M$。

(a) 对 $x < y$，由区间可加性 $F(y) - F(x) = \int_x^y f$，再由基本估计 $|F(y) - F(x)| \le M(y - x)$。故 $F$ 是 Lipschitz 的，特别地连续（给定 $\varepsilon > 0$ 取 $\delta = \varepsilon / M$，$M = 0$ 时平凡）。

(b) 设 $f$ 在 $x_0$ 连续，给定 $\varepsilon > 0$，取 $\delta > 0$ 使 $|x - x_0| < \delta$ 时 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。则对 $0 < h < \delta$

（第二个等号用了区间可加性把 $\int_{x_0}^{x_0+h} f(x_0) = h f(x_0)$ 提出来。）右端的绝对值 $\le \frac{1}{h} \cdot \varepsilon \cdot h = \varepsilon$，由基本估计。$h < 0$ 时同法（注意商里 $h$ 为负、积分上下限颠倒，两次符号相消）。故 $F'(x_0) = f(x_0)$。∎

设 $f$ 连续、$g \ge 0$ 可积（$g \le 0$ 时取 $-g$）。

1. 由最值定理，$f$ 在 $[a, b]$ 上取到最小值 $m$ 与最大值 $M$。
2. 由 $g \ge 0$ 得 $mg \le fg \le Mg$；由保序性与线性性，

1. 若 $\int_a^b g = 0$，则三式都被夹在 $0$ 上，$\int fg = 0 = f(\xi) \cdot 0$ 对任意 $\xi$ 成立。
2. 否则令

由介值定理，存在 $\xi \in [a, b]$ 使 $f(\xi) = c$，整理即得结论。∎

记 $\varepsilon_n := \sup_{x \in [a, b]} |f_n(x) - f(x)|$。

1. 可积性：$f = f_n + (f - f_n)$，其中 $f_n$ 可积、而 $f - f_n$ 被常数 $\varepsilon_n$ 控制；用振幅判据，$\omega(f - f_n) \le 2\varepsilon_n$ 逐段成立，故 $f - f_n$ 可积，从而 $f$ 可积。（也可以直接对 $f$ 用振幅判据与 $f_n$ 的振幅比较。）
2. 估计：由积分的绝对值不等式与基本估计，

1. 由一致收敛 $\varepsilon_n \to 0$，右端趋于零，故极限与积分可交换。∎

保序：设 $f \le g$ 处处成立。对每个分割 $P$ 与每个标记 $\xi$ 都有 $S(f, P, \xi) \le S(g, P, \xi)$，令 $\|P\| \to 0$ 得 $\int f \le \int g$。特别地 $f \ge 0 \implies \int f \ge 0$。

绝对值：由 $|f| = f^{+} + f^{-}$，其中 $f^{+} := \max(f, 0)$、$f^{-} := \max(-f, 0)$ 都是「连续函数与 $f$ 的复合」，可积（用振幅判据：$\omega(|f|) \le \omega(f)$ 逐段成立）。又 $-|f| \le f \le |f|$，由保序性得

基本估计：$|f| \le M$ 时由保序性 $\int |f| \le \int M = M(b - a)$，配合上一条即得。∎