Darboux 判据

记 $L^{$} = \sup_P LL∗=supP​L、$U^{$} = \inf_P U，恒有 $L(f, P) \le L^{$} \le U^{} \le U(f, P)。于是

($\implies$) 设 $f$ 可积，即 $L^{$} = U^{}。给定 $\varepsilon > 0$，取 $P_1$ 使 $L(f, P_1) > L^{$} - \varepsilon/2L(f,P1​)>L∗−ε/2、$P_2$ 使 $U(f, P_2) < U^{$} + \varepsilon/2，并令 $P = P_1 \cup P_2$。由单调性

($\Longleftarrow$) 设对每个 $\varepsilon$ 都存在 $P$ 使 $U(f, P) - L(f, P) < \varepsilon$。由上式 $0 \le U^{$} - L^{} < \varepsilon 对一切 $\varepsilon$ 成立，故 $U^{$} = L^{}，由 Darboux 判据 $f$ 可积。∎

两种定义给出的积分值相同：Darboux 判据已说明公共值就是 $\int_a^b f$。

记 $L^{$} := \sup_P L(f, P)L∗:=supP​L(f,P)、$U^{$} := \inf_P U(f, P)。由上和、下和的单调性（加细后 $L$ 只增、$U$ 只减），对任意两个分割 $P, Q$ 有 $L(f, P) \le U(f, Q)$，故

永远成立。下面说明「$L^{$} = U^{}」与「标记和收敛」等价。

(i) 设 $L^{$} = U^{} =: I。 给定 $\varepsilon > 0$，取分割 $P_1, P_2$ 使 $L(f, P_1) > I - \varepsilon$、$U(f, P_2) < I + \varepsilon$。令 $P := P_1 \cup P_2$，由单调性 $L(f, P) \ge L(f, P_1) > I - \varepsilon$、$U(f, P) \le U(f, P_2) < I + \varepsilon$。

设 $P = \{ x_0 < \cdots < x_n \}$，取 $\delta :=$ 比「$P$ 中相邻分割点的最小间距」更小的正数（$n = 0$ 时平凡）。对任意模小于 $\delta$ 的分割 $Q$ 与任意标记 $\xi$：每个 $Q$ 的小区间至多跨过一个 $P$ 的分割点，于是把 $Q$ 的小区间按「是否含 $P$ 的分割点」分类求和，可得

其中 $M := \sup |f|$（跨过分割点的那几段振幅不超过 $2M$）。令 $\|Q\| \to 0$，两侧都趋于 $I$，故 $S(f, Q, \xi) \to I$。

(ii) 设标记和收敛到 $I$。 任取分割 $P$ 与 $\varepsilon > 0$。用同一分割 $P$、取使 $f(\xi_i)$ 逼近 $M_i$ 的标记，可得 $S > U(f, P) - \varepsilon$；取使 $f(\xi_i)$ 逼近 $m_i$ 的标记得 $S < L(f, P) + \varepsilon$。两者都随模趋于 $I$，故 $|U(f, P) - I| \le \varepsilon$、$|L(f, P) - I| \le \varepsilon$ 对足够细的 $P$ 成立，于是 $U^{$} = L^{} = I。∎