反常积分的比较判敛

命题：比较判别法与绝对收敛

命题
依赖深度 layer 18
分析学
Riemann 积分

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陈述

设 $f, g$ 在不含端点的区间上可积，且 $|f(x)| \le g(x)$ 在近端成立。

$\int g$ 收敛 $\implies$ $\int f$ 收敛；
绝对收敛： $\int |f|$ 收敛 $\implies$ $\int f$ 收敛；
若 $f \ge 0$ ，则 $\int f$ 收敛当且仅当 $\lim \int$ 的上确界有限（单调性判别法）。

说明

⭐ 「绝对收敛 $\implies$ 收敛」的证明走 Cauchy 准则： $|\int_{p}^{q} f| \le \int_p^q |f|$ ，而 $\int |f|$ 收敛给出右端可以任意小。

⚠ 反过来不成立： $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx$ 收敛但不绝对收敛 —— 与数项级数里「条件收敛」一模一样的现象。

⭐ 这条与「级数的比较判敛」是同一条定理的两个化身：把 $f$ 在 $[n, n+1]$ 上积分就得到级数版本。

谁指向它（入边）

推出 1

反常积分、Cauchy 收敛准则 ⟹ 本页推出

反常积分的定义 + Cauchy 准则 $\implies$ 比较判敛
以无穷区间 $\int_a^{+\infty}$ 为例（无界函数的情形把 $R \to \infty$ 换成 $\varepsilon \to 0^{+}$ ，逐字照搬）。记 $I(R) := \int_a^{R} f$ 。
1. Cauchy 准则的形式： $\int_a^{+\infty} f$ 收敛当且仅当对每个 $\varepsilon > 0$ 存在 $R_0$ ，使 $R_0 < p < q$ 时 $\bigl| \int_p^{q} f \bigr| < \varepsilon$ （把数列的 Cauchy 准则用在 $R \mapsto I(R)$ 上，配合区间可加性）。
2. 绝对收敛 $\implies$ 收敛：若 $\int |f|$ 收敛，则对 $p < q$ ， $\bigl| \int_p^q f \bigr| \le \int_p^q |f|$ ，右端由第 1 步可以任意小，故 $\int f$ 收敛。
3. 比较：设 $|f| \le g$ 近端成立。若 $\int g$ 收敛，则由第 1 步， $\int_p^q |f| \le \int_p^q g$ 也可以任意小，故 $\int |f|$ 收敛，再由第 2 步得 $\int f$ 收敛。
4. 非负情形的单调性： $f \ge 0$ 时 $R \mapsto \int_a^R f$ 单调递增，故收敛当且仅当它有上界。∎
第 1 步是全部关键：反常积分的收敛问题被翻译成「尾部的积分可以任意小」，从此与级数判敛的套路完全平行（级数的 Cauchy 准则也长这样）。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 6

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