Riemann ⟹ Lebesgue

谁指向它（入边）

推出 1

• 可积 ⟺ 不连续点零测、可积 / L¹ ⟹ 本页推出
  Lebesgue 判据 $\implies$ Riemann 积分是 Lebesgue 积分的特例

  设 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界且 Riemann 可积。

  1. 可测性：Riemann 可积给出上、下简单函数序列

  $$\varphi_n := \sum_i m_i \chi_{I_i}, \qquad \psi_n := \sum_i M_i \chi_{I_i}$$

  （对一列模趋于零的分割），满足 $\varphi_n \le f \le \psi_n$ 且 $\int (\psi_n - \varphi_n) = U(f, P_n) - L(f, P_n) \to 0$（这里 $\int$ 是 Lebesgue 积分，对简单函数与 Riemann 积分一致）。于是 $f$ 是简单函数的上确界，因而可测。

  1. 两个积分相等：$\int \varphi_n \to \int_a^b f$（Riemann 侧，由下和的性质），而 $\varphi_n \uparrow \bar{f} \le f$ 点态单调上升，由单调收敛定理 $\int \varphi_n \to \int \bar{f}$，其中 $\bar{f} := \sup_n \varphi_n$。两式比较得 $\int \bar{f} = \int_a^b f$。
  2. 同理对上简单函数 $\psi_n$ 用控制收敛（或单调下降）得 $\int \underline{f} = \int_a^b f$，其中 $\underline{f} := \inf_n \psi_n$。
  3. 由 $\underline{f} \le f \le \bar{f}$ 与两者积分相等，得 $f = \bar{f}$ a.e.，于是 $f$ Lebesgue 可积且 $\int_{[a, b]} f\,dm = \int_a^b f$。

  反之：Dirichlet 函数 Lebesgue 可积（积分为 $0$）而 Riemann 不可积（见「哪些函数可积」），故不反向成立。∎

  第 1 步里「两个积分对简单函数一致」是可以直接验算的：简单函数的 Lebesgue 积分就是 $\sum c_j m(E_j)$，而 $E_j$ 是有限个区间之并、$m(E_j)$ 就是长度之和 —— 与 Riemann 侧逐段求和相同。