变上限积分的导数

谁指向它（入边）

推出 1

• 积分的线性与区间可加、积分的保序与估计、连续 ⟹ 本页推出
  区间可加 + 基本估计 $\implies$ 变上限积分的导数

  设 $|f| \le M$。

  (a) 对 $x < y$，由区间可加性 $F(y) - F(x) = \int_x^y f$，再由基本估计 $|F(y) - F(x)| \le M(y - x)$。故 $F$ 是 Lipschitz 的，特别地连续（给定 $\varepsilon > 0$ 取 $\delta = \varepsilon / M$，$M = 0$ 时平凡）。

  (b) 设 $f$ 在 $x_0$ 连续，给定 $\varepsilon > 0$，取 $\delta > 0$ 使 $|x - x_0| < \delta$ 时 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。则对 $0 < h < \delta$

  $$\frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - f(x_0) = \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0 + h} \bigl( f - f(x_0) \bigr)$$

  （第二个等号用了区间可加性把 $\int_{x_0}^{x_0+h} f(x_0) = h f(x_0)$ 提出来。）右端的绝对值 $\le \frac{1}{h} \cdot \varepsilon \cdot h = \varepsilon$，由基本估计。$h < 0$ 时同法（注意商里 $h$ 为负、积分上下限颠倒，两次符号相消）。故 $F'(x_0) = f(x_0)$。∎

  (b) 的证明只用到了 $f$ 在同一点的连续性 —— 积分本身在别处的取值完全不参与。