分部积分

命题：分部积分公式（Integration by Parts）

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陈述

设 F,G:[a,b]→RF, G : [a, b] \to \mathbb{R} 可导、F′,G′F', G' 可积。则

∫abFG′=F(b)G(b)−F(a)G(a)−∫abF′G\int_a^b F G' = F(b)G(b) - F(a)G(a) - \int_a^b F' G

（写成惯用的形式：∫abu dv=uv∣ab−∫abv du\int_a^b u\,dv = uv\bigr|_a^b - \int_a^b v\,du。）

说明

⭐ 它同样是乘积求导法则反着写：(FG)′=F′G+FG′(FG)' = F'G + FG'，两边积分再用 Newton–Leibniz。

⚠ 里外里验证的常见错误：把 F(b)G(b)−F(a)G(a)F(b)G(b) - F(a)G(a) 写成 (FG)(b−a)(FG)(b - a) —— 那是「乘积的积分」，不是「乘积的端点差」。

⭐ 分部积分最有价值的形态是「移项」：∫FG′=FG∣ab−∫F′G\int F G' = FG\bigr|_a^b - \int F'G 把难积的一方挪到另一边。在 Lebesgue 那一侧它对应「弱导数 / 分布意义下的求导」那一整套。

谁指向它（入边）

推出 1

参考

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