反常积分

以无穷区间 $\int_a^{+\infty}$ 为例（无界函数的情形把 $R \to \infty$ 换成 $\varepsilon \to 0^{+}$，逐字照搬）。记 $I(R) := \int_a^{R} f$。

1. Cauchy 准则的形式：$\int_a^{+\infty} f$ 收敛当且仅当对每个 $\varepsilon > 0$ 存在 $R_0$，使 $R_0 < p < q$ 时 $\bigl| \int_p^{q} f \bigr| < \varepsilon$（把数列的 Cauchy 准则用在 $R \mapsto I(R)$ 上，配合区间可加性）。
2. 绝对收敛 $\implies$ 收敛：若 $\int |f|$ 收敛，则对 $p < q$，$\bigl| \int_p^q f \bigr| \le \int_p^q |f|$，右端由第 1 步可以任意小，故 $\int f$ 收敛。
3. 比较：设 $|f| \le g$ 近端成立。若 $\int g$ 收敛，则由第 1 步，$\int_p^q |f| \le \int_p^q g$ 也可以任意小，故 $\int |f|$ 收敛，再由第 2 步得 $\int f$ 收敛。
4. 非负情形的单调性：$f \ge 0$ 时 $R \mapsto \int_a^R f$ 单调递增，故收敛当且仅当它有上界。∎

设 $f \ge 0$ 递减。对每个 $n \ge 1$ 与 $x \in [n, n+1]$ 有 $f(n+1) \le f(x) \le f(n)$，逐段积分得

对 $n = 1, \ldots, N$ 求和（裂项式的夹逼）：

1. 若 $\int_1^{+\infty} f$ 收敛，则右端的不等式给出部分和 $\sum_{n \le N} f(n)$ 有界，由比较判别法（非负项）级数收敛。
2. 若 $\int_1^{+\infty} f$ 发散，则左端的不等式给出部分和数列无界，级数发散。∎