上和与下和

上和 $U(f, P)$ 与下和 $L(f, P)$ （Darboux Sums）

定义
依赖深度 layer 15
分析学
Riemann 积分

def.darboux-sum · 定义 · 积分

陈述

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界， $P = \{ x_0 < \cdots < x_n \}$ 是分割。记

M_i := \sup_{x \in I_i} f(x), \qquad m_i := \inf_{x \in I_i} f(x), \qquad \omega_i := M_i - m_i

（ $M_i$ 是 $f$ 在第 $i$ 段上的上确界， $m_i$ 是下确界， $\omega_i$ 是振幅。）上和与下和定义为

U(f, P) := \sum_{i=1}^{n} M_i\,\Delta x_i, \qquad L(f, P) := \sum_{i=1}^{n} m_i\,\Delta x_i

说明

⭐ 上和、下和是「把所有标记法一次夹住」：对每个分割 $P$ 与任意标记 $\xi$ 都有

L(f, P) \le S(f, P, \xi) \le U(f, P)

⭐ 加细的单调性：若 $P' \supseteq P$ ，则 $L(f, P) \le L(f, P')$ 且 $U(f, P') \le U(f, P)$ —— 切得更细之后每段的 $m_i$ 只会变大、 $M_i$ 只会变小。正因为这一条， $\sup_P L(f, P)$ 与 $\inf_P U(f, P)$ 才是可用（且可算）的量。

⚠ 两个确界都对有限分割取； $M_i$ 、 $m_i$ 有限要有界性做前提。

⚠ 记号 $U$ 来自 upper、 $L$ 来自 lower：上和每段取大值。

它指向谁（出边）

定义引用 1

Riemann 可积用到本页定义引用

可积的 Darboux 形式定义为「两个确界相等」，所以要用上和与下和来陈述。

谁指向它（入边）

定义引用 1

分割 → 本页定义引用

上和、下和同样只依赖分割：把每段的标记换成该段的上确界 / 下确界。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 6

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