Riemann 可积

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ Darboux 判据推出
  可积的定义 $\implies$ Darboux 判据

  记 $L^{$} := \sup_P L(f, P)L∗:=supP​L(f,P)、$U^{$} := \inf_P U(f, P)。由上和、下和的单调性（加细后 $L$ 只增、$U$ 只减），对任意两个分割 $P, Q$ 有 $L(f, P) \le U(f, Q)$，故

  $$L^{*} \le U^{*}$$

  永远成立。下面说明「$L^{$} = U^{}」与「标记和收敛」等价。

  (i) 设 $L^{$} = U^{} =: I。 给定 $\varepsilon > 0$，取分割 $P_1, P_2$ 使 $L(f, P_1) > I - \varepsilon$、$U(f, P_2) < I + \varepsilon$。令 $P := P_1 \cup P_2$，由单调性 $L(f, P) \ge L(f, P_1) > I - \varepsilon$、$U(f, P) \le U(f, P_2) < I + \varepsilon$。

  设 $P = \{ x_0 < \cdots < x_n \}$，取 $\delta :=$ 比「$P$ 中相邻分割点的最小间距」更小的正数（$n = 0$ 时平凡）。对任意模小于 $\delta$ 的分割 $Q$ 与任意标记 $\xi$：每个 $Q$ 的小区间至多跨过一个 $P$ 的分割点，于是把 $Q$ 的小区间按「是否含 $P$ 的分割点」分类求和，可得

  $$L(f, P) - 2M\,\|Q\|\cdot n \le L(f, Q) \le S(f, Q, \xi) \le U(f, Q) \le U(f, P) + 2M\,\|Q\| \cdot n$$

  其中 $M := \sup |f|$（跨过分割点的那几段振幅不超过 $2M$）。令 $\|Q\| \to 0$，两侧都趋于 $I$，故 $S(f, Q, \xi) \to I$。

  (ii) 设标记和收敛到 $I$。 任取分割 $P$ 与 $\varepsilon > 0$。用同一分割 $P$、取使 $f(\xi_i)$ 逼近 $M_i$ 的标记，可得 $S > U(f, P) - \varepsilon$；取使 $f(\xi_i)$ 逼近 $m_i$ 的标记得 $S < L(f, P) + \varepsilon$。两者都随模趋于 $I$，故 $|U(f, P) - I| \le \varepsilon$、$|L(f, P) - I| \le \varepsilon$ 对足够细的 $P$ 成立，于是 $U^{$} = L^{} = I。∎

  两个方向里，(i) 是真正的技术活：任意细分割要与一个固定的加细比较，差的部分就是那些跨过分割点的区间 —— 它们的总长度被 $\|Q\|$ 控制住了。

• 本页 ⟹ 积分的保序与估计推出
  可积的定义 $\implies$ 保序与绝对值不等式

  保序：设 $f \le g$ 处处成立。对每个分割 $P$ 与每个标记 $\xi$ 都有 $S(f, P, \xi) \le S(g, P, \xi)$，令 $\|P\| \to 0$ 得 $\int f \le \int g$。特别地 $f \ge 0 \implies \int f \ge 0$。

  绝对值：由 $|f| = f^{+} + f^{-}$，其中 $f^{+} := \max(f, 0)$、$f^{-} := \max(-f, 0)$ 都是「连续函数与 $f$ 的复合」，可积（用振幅判据：$\omega(|f|) \le \omega(f)$ 逐段成立）。又 $-|f| \le f \le |f|$，由保序性得

  $$-\int |f| \le \int f \le \int |f| \quad\Longrightarrow\quad \Bigl| \int_a^b f \Bigr| \le \int_a^b |f|$$

  基本估计：$|f| \le M$ 时由保序性 $\int |f| \le \int M = M(b - a)$，配合上一条即得。∎

  $\omega(|f|) \le \omega(f)$ 是逐段证明的：$\sup |f| - \inf |f| \le \sup f - \inf f$（反向三角不等式）。

定义引用 1

• 反常积分 用到 本页定义引用

  反常积分是普通 Riemann 积分取极限，所以它的定义域里每一段都要先可积。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 上和与下和 → 本页定义引用

  可积的 Darboux 形式定义为「两个确界相等」，所以要用上和与下和来陈述。