积分中值定理

定理：积分中值定理（第一形式）

定理
依赖深度 layer 20
分析学
Riemann 积分

thm.mean-value-integral · 定理 · 积分

陈述

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续、 $g$ 可积且不变号（ $g \ge 0$ 或 $g \le 0$ ）。则存在 $\xi \in [a, b]$ 使

\int_a^b f g = f(\xi) \int_a^b g

取 $g \equiv 1$ 得：存在 $\xi \in [a, b]$ 使 $\int_a^b f = f(\xi)(b - a)$ ，此时 $f(\xi)$ 称为 $f$ 在 $[a, b]$ 上的平均值。

说明

⭐ 几何读法：曲线下的面积等于「某个高度」乘上底 —— 也就是平均值能真的被某一点取到（连续函数 + 最值定理）。

⚠ $g$ 不变号不可省： $g$ 取正负时加权平均可能落在 $f$ 的值域之外。

⭐ 它在 Newton–Leibniz 的证明里出场（用于证明 $F(b) - F(a)$ 可以被 $F'$ 的积分替代），也是 Taylor 余项、数值积分误差估计的标准工具。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Newton–Leibniz 公式推出

积分中值定理 $\implies$ Newton–Leibniz 公式

设 $F$ 可导、 $f := F'$ 可积。取分割 $P = \{ a = x_0 < \cdots < x_n = b \}$ 。对每一段用 Lagrange 中值定理：存在 $\xi_i \in (x_{i-1}, x_i)$ 使
$F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(\xi_i)\,\Delta x_i = f(\xi_i)\,\Delta x_i$
对各段求和，左端裂项：
$F(b) - F(a) = \sum_{i} \bigl( F(x_i) - F(x_{i-1}) \bigr) = \sum_i f(\xi_i)\,\Delta x_i = S(f, P, \xi)$
右端正是一个 Riemann 和。令 $\|P\| \to 0$ ，由 $f$ 可积， $S(f, P, \xi) \to \int_a^b f$ ；左端与 $P$ 无关，故 $F(b) - F(a) = \int_a^b f$ 。∎

证明里没有用到积分中值定理（那是另一条常用证明）；这里的要点是「裂项」：导数在中值点取到的值恰好把所有增量接起来。这也解释了为什么必须要求 $F'$ 可积 —— 否则右端的 Riemann 和没有极限可言。

谁指向它（入边）

推出 1

最值定理、积分的保序与估计 ⟹ 本页推出

最值定理 + 保序 $\implies$ 积分中值定理
设 $f$ 连续、 $g \ge 0$ 可积（ $g \le 0$ 时取 $-g$ ）。
1. 由最值定理， $f$ 在 $[a, b]$ 上取到最小值 $m$ 与最大值 $M$ 。
2. 由 $g \ge 0$ 得 $mg \le fg \le Mg$ ；由保序性与线性性，
$m\int_a^b g \le \int_a^b fg \le M\int_a^b g$
1. 若 $\int_a^b g = 0$ ，则三式都被夹在 $0$ 上， $\int fg = 0 = f(\xi) \cdot 0$ 对任意 $\xi$ 成立。
2. 否则令
$c := \frac{\int_a^b fg}{\int_a^b g} \in [m, M]$
由介值定理，存在 $\xi \in [a, b]$ 使 $f(\xi) = c$ ，整理即得结论。∎
第 4 步用的正是介值定理 —— 中值定理家族里唯一需要「 $f$ 取遍中间值」的地方。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 6

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