积分的线性与区间可加

设 $|f| \le M$。

(a) 对 $x < y$，由区间可加性 $F(y) - F(x) = \int_x^y f$，再由基本估计 $|F(y) - F(x)| \le M(y - x)$。故 $F$ 是 Lipschitz 的，特别地连续（给定 $\varepsilon > 0$ 取 $\delta = \varepsilon / M$，$M = 0$ 时平凡）。

(b) 设 $f$ 在 $x_0$ 连续，给定 $\varepsilon > 0$，取 $\delta > 0$ 使 $|x - x_0| < \delta$ 时 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。则对 $0 < h < \delta$

（第二个等号用了区间可加性把 $\int_{x_0}^{x_0+h} f(x_0) = h f(x_0)$ 提出来。）右端的绝对值 $\le \frac{1}{h} \cdot \varepsilon \cdot h = \varepsilon$，由基本估计。$h < 0$ 时同法（注意商里 $h$ 为负、积分上下限颠倒，两次符号相消）。故 $F'(x_0) = f(x_0)$。∎

设 $F$ 可导、$f := F'$ 可积。取分割 $P = \{ a = x_0 < \cdots < x_n = b \}$。对每一段用 Lagrange 中值定理：存在 $\xi_i \in (x_{i-1}, x_i)$ 使

对各段求和，左端裂项：

右端正是一个 Riemann 和。令 $\|P\| \to 0$，由 $f$ 可积，$S(f, P, \xi) \to \int_a^b f$；左端与 $P$ 无关，故 $F(b) - F(a) = \int_a^b f$。∎

振幅的次可加性：在同一区间 $I$ 上，$\omega(f + g) \le \omega(f) + \omega(g)$，$\omega(cf) = |c|\,\omega(f)$（因为 $\sup(f + g) \le \sup f + \sup g$、$\inf(f + g) \ge \inf f + \inf g$）。

1. 设 $f, g$ 可积。给定 $\varepsilon > 0$，取分割 $P_f$ 使 $\sum \omega(f)\Delta x < \varepsilon / 2$，$P_g$ 同理；令 $P = P_f \cup P_g$，加细不增振幅和，于是 $\sum \omega(f + g)\Delta x \le \sum \omega(f)\Delta x + \sum \omega(g)\Delta x < \varepsilon$。故 $f + g$ 可积。
2. 值的关系 $\int (f + g) = \int f + \int g$：在同一分割上，$L(f,P) + L(g,P) \le L(f+g,P) \le U(f+g,P) \le U(f,P) + U(g,P)$，令分割变细即得。
3. 数乘同理（$\omega(cf) = |c|\omega(f)$，值的关系由 $U(cf,P) = cU(f,P)$ 当 $c \ge 0$、$c < 0$ 时互换上下的角色）。
4. 区间可加：设 $P$ 是 $[a, b]$ 的分割，取 $c$ 为分割点，则 $P$ 分裂成 $[a, c]$ 与 $[c, b]$ 的分割，$U(f, P) = U_{[a,c]}(f) + U_{[c,b]}(f)$（$L$ 同）。由振幅判据，一侧的振幅和可以任意小当且仅当两侧都可以，故可积性等价；取极限得 $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$。∎