可积的振幅判据

① 连续 $\implies$ 可积。 设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，令 $M := \sup |f|$。由 Cantor 定理，$f$ 在 $[a, b]$ 上一致连续：对 $\varepsilon > 0$ 取 $\delta > 0$，使 $|x - y| < \delta$ 时 $|f(x) - f(y)| < \dfrac{\varepsilon}{b - a}$。

取分割 $P$ 使 $\|P\| < \delta$，则每段上 $\omega_i \le \dfrac{\varepsilon}{b - a}$，于是

由振幅判据可积。

② 单调 $\implies$ 可积。 设 $f$ 递增。取等距分割 $x_i = a + i\,(b - a)/n$，则第 $i$ 段上 $M_i = f(x_i)$、$m_i = f(x_{i-1})$，振幅和

（这是裂项：中间的 $f(x_i)$ 全部抵消。）

③ 有限个不连续点 $\implies$ 可积。 把 $[a, b]$ 分成有限段，每段内部连续、端点处或为不连续点；对每一段用 ①，再把分割在端点处接起来即可。

④ Dirichlet 函数不可积。 任取分割 $P$：每个小区间同时含有理数与无理数（稠密性），故 $M_i = 1$、$m_i = 0$，振幅和 $U - L = \sum \Delta x_i = b - a$ 与 $P$ 无关，永远不小于 $\varepsilon = b - a$。由振幅判据不可积。∎

记 $D$ 为 $f$ 的不连续点集，并设 $|f| \le M$。

($\Longleftarrow$) 设 $D$ 是零测集，给定 $\varepsilon > 0$。

1. 取开区间族 $\{ J_k \}$ 覆盖 $D$，且 $\sum_k |J_k| < \varepsilon / (4M + 1)$。
2. 令 $K := [a, b] \setminus \bigcup_k J_k$ —— 这是紧集，且 $f$ 在 $K$ 上每点连续。由一致性（$K$ 紧）可得：存在 $\delta > 0$，使 $|x - y| < \delta$、$x, y \in K$ 时 $|f(x) - f(y)| < \varepsilon / (2(b - a))$。
3. 取分割，使每个小区间要么整个落在某个 $J_k$ 里（第一类），要么长度 $< \delta$（第二类）。第一类上 $\omega_i \le 2M$，共占长度 $< \varepsilon /(4M + 1)$；第二类上 $\omega_i \le \varepsilon / (2(b - a))$。于是

由振幅判据可积。

($\implies$) 设 $f$ 可积。对每个 $k \ge 1$ 取分割 $P_k$ 使 $\sum_i \omega_i \Delta x_i < 1 / k$。把「$\omega_i > 1/k$」的那些小区间记为 $J_{k,1}, \ldots$，则

更精细地取 $\varepsilon / k$ 代替 $1/k$，可得 $\sum_j |J_{k,j}| < \varepsilon$。所以集合 $D_k := \bigcup_j J_{k,j}$ 是零测集的「$\varepsilon$-近似」。

1. 现在关键的一步：$D \subseteq \bigcup_{k} \overline{D_k}$ —— 若 $f$ 在 $x$ 处不连续，则 $f$ 在该点的振幅 $\omega(f, x) > 1/k$ 对某个 $k$ 成立，于是 $x$ 属于那些长度可以任意小的区间的闭包。于是 $D$ 被可数多个零测集覆盖，本身是零测集。∎

振幅的次可加性：在同一区间 $I$ 上，$\omega(f + g) \le \omega(f) + \omega(g)$，$\omega(cf) = |c|\,\omega(f)$（因为 $\sup(f + g) \le \sup f + \sup g$、$\inf(f + g) \ge \inf f + \inf g$）。

1. 设 $f, g$ 可积。给定 $\varepsilon > 0$，取分割 $P_f$ 使 $\sum \omega(f)\Delta x < \varepsilon / 2$，$P_g$ 同理；令 $P = P_f \cup P_g$，加细不增振幅和，于是 $\sum \omega(f + g)\Delta x \le \sum \omega(f)\Delta x + \sum \omega(g)\Delta x < \varepsilon$。故 $f + g$ 可积。
2. 值的关系 $\int (f + g) = \int f + \int g$：在同一分割上，$L(f,P) + L(g,P) \le L(f+g,P) \le U(f+g,P) \le U(f,P) + U(g,P)$，令分割变细即得。
3. 数乘同理（$\omega(cf) = |c|\omega(f)$，值的关系由 $U(cf,P) = cU(f,P)$ 当 $c \ge 0$、$c < 0$ 时互换上下的角色）。
4. 区间可加：设 $P$ 是 $[a, b]$ 的分割，取 $c$ 为分割点，则 $P$ 分裂成 $[a, c]$ 与 $[c, b]$ 的分割，$U(f, P) = U_{[a,c]}(f) + U_{[c,b]}(f)$（$L$ 同）。由振幅判据，一侧的振幅和可以任意小当且仅当两侧都可以，故可积性等价；取极限得 $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$。∎

记 $L^{$} = \sup_P LL∗=supP​L、$U^{$} = \inf_P U，恒有 $L(f, P) \le L^{$} \le U^{} \le U(f, P)。于是

($\implies$) 设 $f$ 可积，即 $L^{$} = U^{}。给定 $\varepsilon > 0$，取 $P_1$ 使 $L(f, P_1) > L^{$} - \varepsilon/2L(f,P1​)>L∗−ε/2、$P_2$ 使 $U(f, P_2) < U^{$} + \varepsilon/2，并令 $P = P_1 \cup P_2$。由单调性

($\Longleftarrow$) 设对每个 $\varepsilon$ 都存在 $P$ 使 $U(f, P) - L(f, P) < \varepsilon$。由上式 $0 \le U^{$} - L^{} < \varepsilon 对一切 $\varepsilon$ 成立，故 $U^{$} = L^{}，由 Darboux 判据 $f$ 可积。∎

两种定义给出的积分值相同：Darboux 判据已说明公共值就是 $\int_a^b f$。