Newton–Leibniz 公式

定理（第二基本定理）： $\int_a^b F' = F(b) - F(a)$

定理
依赖深度 layer 21
分析学
Riemann 积分

thm.ftc-riemann-part2 · 定理 · 积分 · 导数

陈述

设 $F : [a, b] \to \mathbb{R}$ 可导、 $F'$ 在 $[a, b]$ 上可积。则

\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)

（ $F$ 称为 $F'$ 的原函数；公式的另一种写法： $\int_a^b f = F\bigr|_a^b$ 。）

说明

⭐ 这是整个初等微积分的主定理：求面积变成了找原函数。它也解释了为什么不定积分表值得背 —— 每一个导数公式反过来都是一条积分公式。

⚠ 前提「 $F'$ 可积」不可省：存在可导函数其导数不可积（ $F(x) = x^{2}\sin(1/x^{2})$ 那一类）。

⚠ 反过来也不够强：Newton–Leibniz 要求 $F$ 是原函数；Lebesgue 版（thm.ftc-lebesgue）把条件放宽成绝对连续，并且把「 $F'$ 存在」也写成结论的一部分。两条定理的关系是「同一句话在两种积分下的形态」。

它指向谁（出边）

推出 2

本页 ⟹ 换元积分推出

链式法则 + Newton–Leibniz $\implies$ 换元公式

设 $\varphi$ 有连续导数， $f$ 连续，并令 $G$ 是 $f$ 的一个原函数（由第一基本定理， $G(x) := \int_{a}^{x} f$ 就是）。则 $G(\varphi(t))$ 对 $t$ 可导，且由链式法则
$\frac{d}{dt} G\bigl(\varphi(t)\bigr) = G'\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t) = f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)$
右边的函数连续因而可积。对它在 $[\alpha, \beta]$ 上用 Newton–Leibniz：
$\int_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt = G\bigl(\varphi(\beta)\bigr) - G\bigl(\varphi(\alpha)\bigr) = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,dx$
最后一步再用一次 Newton–Leibniz（ $G$ 是 $f$ 的原函数）。∎

两个方向的换元（「凑微分」与「变量替换」）在这一个公式里，因为等式两边可以任意读：从左读是代入，从右读是替换。
本页 ⟹ 分部积分推出

乘积求导 + Newton–Leibniz $\implies$ 分部积分

设 $F, G$ 可导、 $F', G'$ 可积。乘积求导法则给出
$(FG)' = F'G + FG'$
左边可积（可积函数的乘积可积），故右边也可积。对三者在 $[a, b]$ 上用 Newton–Leibniz：
$F(b)G(b) - F(a)G(a) = \int_a^b (FG)' = \int_a^b F'G + \int_a^b FG'$
移项即得 $\int_a^b FG' = F(b)G(b) - F(a)G(a) - \int_a^b F'G$ 。∎

「可积函数的乘积可积」这一步值得留意：分部积分把 $FG'$ 的可积性转嫁给了 $F'G$ —— 所以公式的真正用处是「换一个更好积的对手」。

谁指向它（入边）

推出 1

积分中值定理、积分的线性与区间可加 ⟹ 本页推出

积分中值定理 $\implies$ Newton–Leibniz 公式

设 $F$ 可导、 $f := F'$ 可积。取分割 $P = \{ a = x_0 < \cdots < x_n = b \}$ 。对每一段用 Lagrange 中值定理：存在 $\xi_i \in (x_{i-1}, x_i)$ 使
$F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(\xi_i)\,\Delta x_i = f(\xi_i)\,\Delta x_i$
对各段求和，左端裂项：
$F(b) - F(a) = \sum_{i} \bigl( F(x_i) - F(x_{i-1}) \bigr) = \sum_i f(\xi_i)\,\Delta x_i = S(f, P, \xi)$
右端正是一个 Riemann 和。令 $\|P\| \to 0$ ，由 $f$ 可积， $S(f, P, \xi) \to \int_a^b f$ ；左端与 $P$ 无关，故 $F(b) - F(a) = \int_a^b f$ 。∎

证明里没有用到积分中值定理（那是另一条常用证明）；这里的要点是「裂项」：导数在中值点取到的值恰好把所有增量接起来。这也解释了为什么必须要求 $F'$ 可积 —— 否则右端的 Riemann 和没有极限可言。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 6

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