# Riemann ⟹ Lebesgue　`prop.riemann-implies-lebesgue`
命题：Riemann 可积 $\implies$ Lebesgue 可积，且积分相等
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设 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ 有界且 Riemann 可积。则 $f$ 关于 Lebesgue 测度可测，且 Lebesgue 可积，并且两个积分相等：

$$\int_{[a, b]} f\,dm = \int_a^b f$$

反过来不成立：存在 Lebesgue 可积而 Riemann 不可积的函数（例如 Dirichlet 函数）。

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/prop.riemann-implies-lebesgue.2.md](./prop.riemann-implies-lebesgue.2.md)

refs: Folland, Real Analysis, Ch. 2；Rudin, Real and Complex Analysis, Ch. 1

> 说明见 `notes/prop.riemann-implies-lebesgue.md`

引用：`prop.riemann-implies-lebesgue`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)