Cauchy 收敛准则

它指向谁（出边）

推出 4

• 本页 ⟹ ℝ 是完备度量空间推出
  Cauchy 准则 $\implies$ $\mathbb{R}$ 完备

  把 Cauchy 准则的结论逐字翻译成距离空间的语言：$\mathbb{R}$ 中的 Cauchy 列（即 $\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall m, n \ge N : d(x_m, x_n) < \varepsilon$）都收敛，这恰恰就是「$(\mathbb{R}, d)$ 完备」的定义。故不需要新的论证。∎

  这条边的作用是把两套语言对上：序那一侧的「确界原理」与度量那一侧的「完备」在 $\mathbb{R}$ 上说的是同一件事。

• 本页 ⟹ 完备性的六条等价推出
  六条（强连通块）

  记六条为 (1)–(6)。已有四条箭头：

  • (1) $\implies$ (2)：见「确界原理 $\implies$ 单调有界定理」；
  • (2) $\implies$ (3)：见「单调有界定理 $\implies$ 闭区间套定理」；
  • (3) $\implies$ (4)：见「闭区间套定理 $\implies$ Bolzano–Weierstrass」；
  • (4) $\implies$ (5)：见「Bolzano–Weierstrass $\implies$ Cauchy 收敛准则」；
  • (5) $\implies$ (6)：见「Cauchy 准则 $\implies$ $\mathbb{R}$ 完备」。

  还差最后一条：

  (6) $\implies$ (1)：设 $S \subseteq \mathbb{R}$ 非空、有上界，要证 $\sup S$ 存在。取 $a_0 \in S$ 与 $S$ 的一个上界 $b_0$，令 $I_0 = [a_0, b_0]$。归纳地，设 $I_n = [a_n, b_n]$ 已作出，其中 $a_n$ 是 $S$ 的下界方向上的一个点、$b_n$ 是 $S$ 的上界。取中点 $m_n = (a_n + b_n) / 2$：若 $m_n$ 是 $S$ 的上界则令 $I_{n+1} = [a_n, m_n]$，否则（此时可取出 $a_{n+1} \in S$ 且 $a_{n+1} > m_n$）令 $I_{n+1} = [m_n, b_n]$。于是 $b_n - a_n = (b_0 - a_0)/2^{n} \to 0$，且 $a_n$ 递增有上界 —— 由 (2)（已由 (1) 推出，但这里可直接用 (6) 的完备性）$a_n$ 收敛，记极限为 $s$。

  1. $s$ 是 $S$ 的上界：若存在 $t \in S$ 且 $t > s$，取 $n$ 使 $b_n - a_n < t - s$；由 $b_n$ 也是上界得 $t \le b_n$，于是 $b_n \ge t > s > a_n$ 且 $b_n - a_n \ge t - a_n > t - s$（因为 $a_n \le s$），矛盾。
  2. $s$ 是最小上界：任取上界 $u$，恒有 $a_n \le u$（$a_n$ 附近有 $S$ 的点），令 $n \to \infty$ 得 $s \le u$。

  故 $s = \sup S$，即 (1)。六条首尾相接，故彼此等价。∎

  这正是「强连通块」的含义：任取一条作公理，其余五条都是定理。所以要问的不是「哪条对」，而是「哪一种说法在当前语境里最方便」—— 后来在一般完备度量空间里只剩 (6)，在完备格（如 $\overline{\mathbb{R}}$）里只剩 (1)。

• 本页 ⟹ 反常积分的比较判敛推出
  反常积分的定义 + Cauchy 准则 $\implies$ 比较判敛

  以无穷区间 $\int_a^{+\infty}$ 为例（无界函数的情形把 $R \to \infty$ 换成 $\varepsilon \to 0^{+}$，逐字照搬）。记 $I(R) := \int_a^{R} f$。

  1. Cauchy 准则的形式：$\int_a^{+\infty} f$ 收敛当且仅当对每个 $\varepsilon > 0$ 存在 $R_0$，使 $R_0 < p < q$ 时 $\bigl| \int_p^{q} f \bigr| < \varepsilon$（把数列的 Cauchy 准则用在 $R \mapsto I(R)$ 上，配合区间可加性）。
  2. 绝对收敛 $\implies$ 收敛：若 $\int |f|$ 收敛，则对 $p < q$，$\bigl| \int_p^q f \bigr| \le \int_p^q |f|$，右端由第 1 步可以任意小，故 $\int f$ 收敛。
  3. 比较：设 $|f| \le g$ 近端成立。若 $\int g$ 收敛，则由第 1 步，$\int_p^q |f| \le \int_p^q g$ 也可以任意小，故 $\int |f|$ 收敛，再由第 2 步得 $\int f$ 收敛。
  4. 非负情形的单调性：$f \ge 0$ 时 $R \mapsto \int_a^R f$ 单调递增，故收敛当且仅当它有上界。∎

  第 1 步是全部关键：反常积分的收敛问题被翻译成「尾部的积分可以任意小」，从此与级数判敛的套路完全平行（级数的 Cauchy 准则也长这样）。

• 本页 ⟹ 级数的 Cauchy 准则推出
  实数的 Cauchy 准则 $\implies$ 级数的 Cauchy 准则

  设 $s_N = \sum_{n \le N} a_n$。由定义，$\sum a_n$ 收敛 $\iff$ 数列 $\{s_N\}$ 收敛；而由实数的 Cauchy 收敛准则，$\{s_N\}$ 收敛 $\iff$ $\{s_N\}$ 是 Cauchy 列，即

  $$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n > m \ge N :\ |s_n - s_m| < \varepsilon$$

  把 $s_n - s_m = \sum_{k=m+1}^{n} a_k$ 代进去即得所证。

  必要条件：$\sum a_n$ 收敛时 $a_n = s_n - s_{n-1} \to 0$（两个收敛数列之差）。∎

  这条准则里唯一的外来输入是实数的完备性 —— 换句话说，级数收敛的判别本质上是在用 $\mathbb{R}$ 没有洞。

谁指向它（入边）

推出 1

• Bolzano–Weierstrass ⟹ 本页推出
  Bolzano–Weierstrass $\implies$ Cauchy 收敛准则

  「$\implies$」：设 $x_n \to x$。给定 $\varepsilon > 0$，取 $N$ 使 $n \ge N$ 时 $|x_n - x| < \varepsilon / 2$。则 $m, n \ge N$ 时

  $$|x_m - x_n| \le |x_m - x| + |x_n - x| < \varepsilon$$

  故 $\{x_n\}$ 是 Cauchy 列。

  「$\Longleftarrow$」：设 $\{x_n\}$ 是 Cauchy 列。

  1. 先证有界：取 $\varepsilon = 1$ 得 $N_0$，使 $m, n \ge N_0$ 时 $|x_m - x_n| < 1$。于是 $n \ge N_0$ 时 $|x_n| \le |x_{N_0}| + 1$，而前 $N_0 - 1$ 项有限，故 $\{x_n\}$ 有界。
  2. 由 Bolzano–Weierstrass，存在子列 $x_{n_k} \to x$。
  3. 证原列也收敛到 $x$：给定 $\varepsilon > 0$，取 $N_1$ 使 $m, n \ge N_1$ 时 $|x_m - x_n| < \varepsilon / 2$（Cauchy 性），再取 $k$ 使 $n_k \ge N_1$ 且 $|x_{n_k} - x| < \varepsilon / 2$。则 $n \ge N_1$ 时

  $$|x_n - x| \le |x_n - x_{n_k}| + |x_{n_k} - x| < \varepsilon$$

  注意第 3 步里 $n_k \ge N_1$ 是关键 —— 它保证 $|x_n - x_{n_k}|$ 可以按 Cauchy 性来估。∎

  第 1 步（Cauchy 列必有界）是最容易被忽略、但必须写出来的一步 —— 没有它就用不上 Bolzano–Weierstrass。

定义引用 1

• Cauchy 列 → 本页定义引用

  定理的两边一边是收敛、一边是 Cauchy 列 —— 后者刚在这一包定义。