有界闭 ⟺ 紧（ℝⁿ）

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 紧集上连续 ⟹ 有界推出
  闭区间紧（Heine–Borel）$\implies$ 闭区间上的连续函数有界

  在 $\mathbb{R}$ 上取 $X = [a, b]$。由 Heine–Borel，$[a, b]$ 是 $\mathbb{R}$ 的有界闭子集，从而是紧的。于是「紧空间上的连续实值函数有界」这条命题原封不动地适用于 $X = [a, b]$，结论就是：$[a, b]$ 上的连续函数有界。∎

  这条边的方向是「一般 $\implies$ 特例」：命题是紧度量空间的版本，$[a, b]$ 是它的一个实例。图上把它标出来，是因为初等微积分里大家用的都是这个特例。

谁指向它（入边）

推出 1

• Bolzano–Weierstrass、紧的三个等价刻画 ⟹ 本页推出
  Bolzano–Weierstrass + 紧的三个等价刻画 $\implies$ Heine–Borel

  按「序列紧」来用「紧的三个等价刻画」：在度量空间里 $K$ 紧 $\iff K$ 列紧。

  ($\Longleftarrow$) 设 $K \subseteq \mathbb{R}^{n}$ 有界且闭。取 $K$ 中任一数列 $\{x_k\}$。它作为 $\mathbb{R}^{n}$ 中的数列有界，由 Bolzano–Weierstrass 的 $\mathbb{R}^{n}$ 版本有子列收敛到某点 $x$。$K$ 闭，故 $x \in K$。于是 $K$ 列紧，从而紧。

  ($\implies$) 设 $K$ 紧。紧集在度量空间里总是闭的（见「紧子集是闭的」）。若有界性不成立，则对每个 $k$ 可取 $x_k \in K \setminus B(0, k)$，这样的数列没有任何收敛子列（$|x_k| \to \infty$），与列紧矛盾。故 $K$ 有界。∎

  两条前提缺一不可：$\mathbb{R}^{n}$ 的完备性（Bolzano–Weierstrass）给出「有界 $\implies$ 有子列收敛」，度量空间的一般事实给出「紧 $\iff$ 列紧」与「紧 $\implies$ 闭」。

定义引用 1

• 紧 → 本页定义引用

  Heine–Borel 是一条判别紧性的定理，用的就是紧空间的定义。