# 有界闭 ⟺ 紧（ℝⁿ）　`cor.heine-borel`
推论：Heine–Borel 定理 —— $\mathbb{R}^{n}$ 中紧 $\iff$ 有界且闭
layer 17 · 推论 · 实数完备性的等价刻画 · 分析学+拓扑学
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设 $K \subseteq \mathbb{R}^{n}$，按 Euclidean 距离看成一个度量空间。则 $K$ 是紧空间，当且仅当 $K$ 有界且闭。

（「紧」取「每个开覆盖都有有限子覆盖」，或等价的「每个数列都有收敛到 $K$ 内一点的子列」。）

## 它能推出什么 / 谁在用它
- ⇒ [`prop.continuous-bounded-on-compact`](../nodes/prop.continuous-bounded-on-compact.md) 紧集上连续 ⟹ 有界

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/cor.heine-borel.2.md](./cor.heine-borel.2.md)

refs: Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 2；Munkres, Topology, Ch. 28

> 说明见 `notes/cor.heine-borel.md`

引用：`cor.heine-borel`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)