紧集上连续 ⟹ 有界

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 最值定理推出
  有界 + 确界原理 $\implies$ 取到最值

  设 $X$ 紧、$f : X \to \mathbb{R}$ 连续。由上一条，$f(X)$ 非空且有上界，令

  $$M := \sup f(X) \in \mathbb{R}$$

  （确界原理保证它存在）。

  1. 对每个 $n \ge 1$，$M - 1/n$ 不是 $f(X)$ 的上界，所以存在 $x_n \in X$ 使 $f(x_n) > M - 1/n$。
  2. $X$ 紧 $\implies$ 列紧（见「紧的三个等价刻画」），所以 $\{x_n\}$ 有子列 $x_{n_k} \to x^{*} \in X$。
  3. $f$ 连续 $\implies$ $f(x_{n_k}) \to f(x^{$})f(xnk​​)→f(x∗)；另一方面由第 1 步 $f(x_{n_k}) \to M$（夹逼：$M - 1/n_k < f(x_{n_k}) \le M$）。极限唯一，故 $f(x^{$}) = M。
  4. 于是 $f(x^{$}) = M = \sup f(X) \ge f(x)f(x∗)=M=supf(X)≥f(x) 对一切 $x \in X$ 成立，即 $x_{\max} = x^{$}。

  把 $f$ 换成 $-f$ 得最小值。∎

  第 3 步的两个极限必须都存在才能用「极限唯一」：左式的存在性来自连续性，右式来自 $\sup$ 的定义。紧性只在第 2 步用了一次。

谁指向它（入边）

推出 1

• 有界闭 ⟺ 紧（ℝⁿ） ⟹ 本页推出
  闭区间紧（Heine–Borel）$\implies$ 闭区间上的连续函数有界

  在 $\mathbb{R}$ 上取 $X = [a, b]$。由 Heine–Borel，$[a, b]$ 是 $\mathbb{R}$ 的有界闭子集，从而是紧的。于是「紧空间上的连续实值函数有界」这条命题原封不动地适用于 $X = [a, b]$，结论就是：$[a, b]$ 上的连续函数有界。∎

  这条边的方向是「一般 $\implies$ 特例」：命题是紧度量空间的版本，$[a, b]$ 是它的一个实例。图上把它标出来，是因为初等微积分里大家用的都是这个特例。

定义引用 1

• 紧 → 本页定义引用

  命题的证明只用到紧性的一个用途：从任一开覆盖里取有限子覆盖（或等价地，列紧）。