间断点分类

命题：间断点的两类分法

prop.discontinuity-types · 命题 · 连续

陈述

设 $f$ 在 $x_0$ 的去心邻域上有定义，但在 $x_0$ 处不连续。称 $x_0$ 是 $f$ 的间断点，并按两个单侧极限是否存在分成两类：

第一类： $\lim_{x \to x_0^{-}} f(x)$ 与 $\lim_{x \to x_0^{+}} f(x)$ 都存在（有限）。其中

第二类：至少有一个单侧极限不存在，或为 $\pm\infty$ 。

⭐ 这一分类在图上不只是名词：单调函数的间断点全是跳跃间断，而且这样的点至多可数 —— 那是 BV 与测度论那一团（ $\mu_F$ 的原子、 $F' = 0$ a.e.）的起点。

⚠ 「可去」的关键是 $f$ 在 $x_0$ 处有定义但不等于极限：例如 $f(x) = \sin x / x$ 补上 $f(0) = 1$ 就连续。 $x_0$ 根本不在定义域里时（如 $1/x$ 在 $0$ ）不算以 $0$ 为定义域上的间断点。

⭐ 第二类的典型： $\sin(1/x)$ 在 $0$ 处（振荡，极限不存在）。

证明（分类是穷尽的）。在间断点 $x_0$ 处，每个单侧极限只有两种状态：存在且有限，或不存在 / 为无穷。于是「两个单侧极限都有限」与「至少一个不满足」互斥且穷尽，前者再按两侧极限是否相等分成可去与跳跃两类 —— 三种情形互斥且已列出全部可能。∎