反函数连续

谁指向它（入边）

推出 1

• 介值定理、单调有界定理 ⟹ 本页推出
  介值定理 + 单调有界 $\implies$ 反函数连续

  设 $f$ 在区间 $I$ 上严格递增且连续。

  1. $f(I)$ 是区间：取 $y_1 < y_2$ 属于 $f(I)$，即 $y_i = f(x_i)$。由严格递增 $x_1 < x_2$。任取 $y \in (y_1, y_2)$，则 $f(x_1) < y < f(x_2)$，由介值定理在 $[x_1, x_2]$ 上存在 $x$ 使 $f(x) = y$，故 $y \in f(I)$。
  2. $f$ 是双射：严格递增给出单射，$f(I)$ 的定义给出满射。
  3. $f^{-1}$ 递增：若 $y_1 < y_2$ 而 $f^{-1}(y_1) \ge f^{-1}(y_2)$，由 $f$ 递增就有 $y_1 \ge y_2$，矛盾。
  4. $f^{-1}$ 连续：设 $y_0 = f(x_0)$，给定 $\varepsilon > 0$。由 $x_0$ 在 $I$ 内部的情形（端点同理）取 $x_0 - \varepsilon < x_0 < x_0 + \varepsilon$ 都落在 $I$ 内。令 $y_{-} := f(x_0 - \varepsilon)$、$y_{+} := f(x_0 + \varepsilon)$，取 $\delta := \min\{y_0 - y_{-},\ y_{+} - y_0\} > 0$。则 $|y - y_0| < \delta$ 时 $y_{-} < y < y_{+}$，由第 3 步的单调性得 $x_0 - \varepsilon < f^{-1}(y) < x_0 + \varepsilon$，即 $|f^{-1}(y) - x_0| < \varepsilon$。∎

  证明里只用到了「严格单调 + 介值」，没有用到一致连续 —— 反函数连续是比「$f$ 一致连续」更弱的条件就能得到的结论。