单调有界定理

设 $I_n = [a_n, b_n]$ 嵌套且 $b_n - a_n \to 0$。

1. 由 $I_{n+1} \subseteq I_n$ 得 $a_1 \le a_2 \le \cdots$ 且 $b_1 \ge b_2 \ge \cdots$。于是 $\{a_n\}$ 递增且有上界 $b_1$，$\{b_n\}$ 递减且有下界 $a_1$。
2. 由单调有界定理，$a_n \to a$、$b_n \to b$，其中 $a = \sup_n a_n$、$b = \inf_n b_n$。
3. $b - a = \lim (b_n - a_n) = 0$，故 $a = b$，记这个公共值为 $x$。
4. 对每个 $n$ 有 $a_n \le x \le b_n$（$x$ 是 $\{a_n\}$ 的上界、又是 $\{b_n\}$ 的下界），所以 $x \in \bigcap_n I_n$。
5. 若 $y \in \bigcap_n I_n$，则 $a_n \le y \le b_n$ 对一切 $n$ 成立，令 $n \to \infty$ 得 $y = x$。故交集恰含一点。∎

记六条为 (1)–(6)。已有四条箭头：

• (1) $\implies$ (2)：见「确界原理 $\implies$ 单调有界定理」；
• (2) $\implies$ (3)：见「单调有界定理 $\implies$ 闭区间套定理」；
• (3) $\implies$ (4)：见「闭区间套定理 $\implies$ Bolzano–Weierstrass」；
• (4) $\implies$ (5)：见「Bolzano–Weierstrass $\implies$ Cauchy 收敛准则」；
• (5) $\implies$ (6)：见「Cauchy 准则 $\implies$ $\mathbb{R}$ 完备」。

还差最后一条：

(6) $\implies$ (1)：设 $S \subseteq \mathbb{R}$ 非空、有上界，要证 $\sup S$ 存在。取 $a_0 \in S$ 与 $S$ 的一个上界 $b_0$，令 $I_0 = [a_0, b_0]$。归纳地，设 $I_n = [a_n, b_n]$ 已作出，其中 $a_n$ 是 $S$ 的下界方向上的一个点、$b_n$ 是 $S$ 的上界。取中点 $m_n = (a_n + b_n) / 2$：若 $m_n$ 是 $S$ 的上界则令 $I_{n+1} = [a_n, m_n]$，否则（此时可取出 $a_{n+1} \in S$ 且 $a_{n+1} > m_n$）令 $I_{n+1} = [m_n, b_n]$。于是 $b_n - a_n = (b_0 - a_0)/2^{n} \to 0$，且 $a_n$ 递增有上界 —— 由 (2)（已由 (1) 推出，但这里可直接用 (6) 的完备性）$a_n$ 收敛，记极限为 $s$。

1. $s$ 是 $S$ 的上界：若存在 $t \in S$ 且 $t > s$，取 $n$ 使 $b_n - a_n < t - s$；由 $b_n$ 也是上界得 $t \le b_n$，于是 $b_n \ge t > s > a_n$ 且 $b_n - a_n \ge t - a_n > t - s$（因为 $a_n \le s$），矛盾。
2. $s$ 是最小上界：任取上界 $u$，恒有 $a_n \le u$（$a_n$ 附近有 $S$ 的点），令 $n \to \infty$ 得 $s \le u$。

故 $s = \sup S$，即 (1)。六条首尾相接，故彼此等价。∎

设 $f$ 在区间 $I$ 上严格递增且连续。

1. $f(I)$ 是区间：取 $y_1 < y_2$ 属于 $f(I)$，即 $y_i = f(x_i)$。由严格递增 $x_1 < x_2$。任取 $y \in (y_1, y_2)$，则 $f(x_1) < y < f(x_2)$，由介值定理在 $[x_1, x_2]$ 上存在 $x$ 使 $f(x) = y$，故 $y \in f(I)$。
2. $f$ 是双射：严格递增给出单射，$f(I)$ 的定义给出满射。
3. $f^{-1}$ 递增：若 $y_1 < y_2$ 而 $f^{-1}(y_1) \ge f^{-1}(y_2)$，由 $f$ 递增就有 $y_1 \ge y_2$，矛盾。
4. $f^{-1}$ 连续：设 $y_0 = f(x_0)$，给定 $\varepsilon > 0$。由 $x_0$ 在 $I$ 内部的情形（端点同理）取 $x_0 - \varepsilon < x_0 < x_0 + \varepsilon$ 都落在 $I$ 内。令 $y_{-} := f(x_0 - \varepsilon)$、$y_{+} := f(x_0 + \varepsilon)$，取 $\delta := \min\{y_0 - y_{-},\ y_{+} - y_0\} > 0$。则 $|y - y_0| < \delta$ 时 $y_{-} < y < y_{+}$，由第 3 步的单调性得 $x_0 - \varepsilon < f^{-1}(y) < x_0 + \varepsilon$，即 $|f^{-1}(y) - x_0| < \varepsilon$。∎

设 $0 \le a_n \le b_n$ 对 $n \ge N_0$ 成立。记 $A_N := \sum_{n \le N} a_n$、$B_N := \sum_{n \le N} b_n$，两者都（最终）单调递增。

1. 若 $\sum b_n$ 收敛，则 $\{B_N\}$ 有界；由 $A_N \le B_N + \text{const}$（前 $N_0$ 项之差），$\{A_N\}$ 也有界。
2. 单调有界 $\implies$ $\{A_N\}$ 收敛，即 $\sum a_n$ 收敛。
3. 第二条是第一条的逆否命题。

极限形式：设 $a_n / b_n \to L \in (0, +\infty)$，则存在 $N_0$ 使 $n \ge N_0$ 时 $\frac{L}{2} b_n \le a_n \le 2L\, b_n$ —— 两边比较即得同敛散性。$L = 0$ 时只有右半边不等式，故只单向成立。∎

设 $\{x_n\}$ 递增且有上界。令 $s := \sup_{n} x_n$ —— 由确界原理，这个上确界存在（集合非空且有上界）。

要证 $x_n \to s$。给定 $\varepsilon > 0$。$s - \varepsilon$ 不是 $\{x_n\}$ 的上界（$s$ 是最小上界），所以存在 $N$ 使 $x_N > s - \varepsilon$。由单调性，$n \ge N$ 时 $x_n \ge x_N > s - \varepsilon$；又恒有 $x_n \le s$。故 $n \ge N$ 时 $|x_n - s| < \varepsilon$。

递减且有下界的情形取 $\inf$ 同理。∎