比较判别法

记 $K_n := c_n \frac{a_n}{a_{n+1}} - c_{n+1}$。

收敛支：设 $n \ge N_0$ 时 $K_n \ge \delta > 0$。把它写成

对 $n = N_0, \ldots, M-1$ 求和，左端裂项：$c_{N_0} a_{N_0} - c_M a_M \ge \delta \sum_{n = N_0}^{M-1} a_{n+1}$。左端 $\le c_{N_0} a_{N_0}$（因为 $c_M a_M > 0$），故

对一切 $M$ 成立 —— 部分和有界，由比较判别法（或直接由单调有界）收敛。

发散支：设 $\sum 1/c_n$ 发散且 $n \ge N_0$ 时 $K_n \le 0$，即 $c_n a_n \le c_{n+1} a_{n+1}$。于是 $\{c_n a_n\}$ 递增，特别地 $c_n a_n \ge c_{N_0} a_{N_0} =: \gamma > 0$，从而

由 $\sum 1/c_n$ 发散与比较判别法，$\sum a_n$ 发散。∎

$\alpha < 1$：取 $q$ 使 $\alpha < q < 1$。由 $\limsup \sqrt[n]{a_n} = \alpha < q$，存在 $N$ 使 $n \ge N$ 时 $\sqrt[n]{a_n} < q$，即 $a_n < q^{n}$。几何级数 $\sum q^{n}$ 收敛，由比较判别法 $\sum a_n$ 收敛。

$\alpha > 1$：此时 $\sqrt[n]{a_n} > 1$ 对无穷多个 $n$ 成立（否则 $\limsup \le 1$），即 $a_n > 1$ 对无穷多个 $n$ 成立。于是 $a_n \not\to 0$，由级数的必要条件（Cauchy 准则）发散。

$\alpha = 1$：$a_n = 1/n$（发散）与 $a_n = 1/n^{2}$（收敛）都满足 $\limsup \sqrt[n]{a_n} = 1$，故无结论。

与比值判别法的比较：若 $a_{n+1}/a_n \to L$，则 $\sqrt[n]{a_n} \to L$（取对数后用 Cesàro 平均），故比值能判的根值也能判；反之（$a_n = 2^{-n+(-1)^{n}}$）不成立。∎

设 $f \ge 0$ 递减。对每个 $n \ge 1$ 与 $x \in [n, n+1]$ 有 $f(n+1) \le f(x) \le f(n)$，逐段积分得

对 $n = 1, \ldots, N$ 求和（裂项式的夹逼）：

1. 若 $\int_1^{+\infty} f$ 收敛，则右端的不等式给出部分和 $\sum_{n \le N} f(n)$ 有界，由比较判别法（非负项）级数收敛。
2. 若 $\int_1^{+\infty} f$ 发散，则左端的不等式给出部分和数列无界，级数发散。∎

设 $a_n \ge 0$ 递减。对每个 $k \ge 0$，下标落在 $[2^{k}, 2^{k+1})$ 里的项共 $2^{k}$ 个，且都在 $a_{2^{k+1}}$ 与 $a_{2^{k}}$ 之间。于是

对 $k = 0, \ldots, K-1$ 求和：

（左端用了 $\sum_k 2^{k} a_{2^{k+1}} = \frac{1}{2}\sum_{j} 2^{j} a_{2^{j}}$ 的重编号。）两个不等式把「原级数的部分和」与「凝聚级数的部分和」互相压住，由比较判别法两者同敛散。∎

设 $|f_n(x)| \le M_n$、$\sum M_n$ 收敛。记部分和 $S_N(x) := \sum_{n \le N} f_n(x)$。

对 $N' > N$，

右端与 $x$ 无关，而 $\sum M_n$ 收敛（由数项级数的 Cauchy 准则）使它可以任意小 —— 所以 $\{S_N\}$ 是一致 Cauchy 列，因而一致收敛。绝对收敛同理（$\sum |f_n(x)| \le \sum M_n$）。∎

设 $0 \le a_n \le b_n$ 对 $n \ge N_0$ 成立。记 $A_N := \sum_{n \le N} a_n$、$B_N := \sum_{n \le N} b_n$，两者都（最终）单调递增。

1. 若 $\sum b_n$ 收敛，则 $\{B_N\}$ 有界；由 $A_N \le B_N + \text{const}$（前 $N_0$ 项之差），$\{A_N\}$ 也有界。
2. 单调有界 $\implies$ $\{A_N\}$ 收敛，即 $\sum a_n$ 收敛。
3. 第二条是第一条的逆否命题。

极限形式：设 $a_n / b_n \to L \in (0, +\infty)$，则存在 $N_0$ 使 $n \ge N_0$ 时 $\frac{L}{2} b_n \le a_n \le 2L\, b_n$ —— 两边比较即得同敛散性。$L = 0$ 时只有右半边不等式，故只单向成立。∎