重排不变性

设 $A := \sum a_n$、$B := \sum b_n$ 都绝对收敛，记 $A_N := \sum_{n \le N} a_n$、$B_N := \sum_{n \le N} b_n$。

1. 对角线与方形的关系：$A_N B_N = \sum_{m, n \le N} a_m b_n$ 是二重和的一个「方形」部分和。
2. 绝对收敛性：$\sum_{m, n} |a_m b_n| = \bigl( \sum_m |a_m| \bigr)\bigl( \sum_n |b_n| \bigr) < \infty$（二重非负和按任一方式展布都相等），故二重绝对收敛，任一重排都不改变和，且和 $= AB$。
3. 按对角线重排：把 $\sum_{m, n} a_m b_n$ 按 $m + n$ 分组，第 $n$ 组之和正是 $c_n = \sum_{k \le n} a_k b_{n-k}$。由第 2 步的重排不变性，$\sum c_n = AB$。
4. $\sum c_n$ 绝对收敛：同理对 $\sum_{m,n} |a_m b_n|$ 按对角线分组，得 $\sum |c_n| \le \sum_{m,n}|a_m b_n| < \infty$。

反例（不绝对收敛时失败）：取 $a_n = b_n = \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}$，两个级数由 Abel–Dirichlet 收敛，但 $c_n = (-1)^{n}\sum_{k \le n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$ 的绝对值 $\ge \frac{2(n+1)}{n+2} \to 2$，故 $c_n \not\to 0$，乘积级数发散。∎

先设 $a_n \ge 0$。 记 $S := \sum a_n \in [0, +\infty]$。任取双射 $\sigma$。

1. 对每个 $N$，$\sum_{n \le N} a_{\sigma(n)} \le S$（有限个项是原级数的一个有限部分）。取上确界得 $\sum_n a_{\sigma(n)} \le S$。
2. 反过来把 $\sigma^{-1}$ 代进去（同一条推理用在 $\sigma^{-1}$ 上，把 $\sum a_n$ 看成 $\sum a_{\sigma(n)}$ 的重排）得 $S \le \sum_n a_{\sigma(n)}$。
3. 故两者相等（有限或同时为 $+\infty$）；特别地 $\sum a_n < \infty$ 时重排也收敛且和相同。

一般情形。 写 $a_n = a_n^{+} - a_n^{-}$，其中 $a^{\pm} := \frac{|a_n| \pm a_n}{2} \ge 0$。由 $0 \le a_n^{\pm} \le |a_n|$，两个非负级数都收敛；对它们各用上面的结论，再相减：

绝对收敛性同理（$\sum |a_{\sigma(n)}| = \sum |a_n| < \infty$，来自非负情形）。∎