Riemann 重排定理

定理（Riemann）：条件收敛级数可以重排成任意和

定理
依赖深度 layer 17
分析学
数项级数的敛散性

thm.riemann-rearrangement · 定理 · 级数 · 收敛 · 反例

陈述

设实级数 $\sum a_n$ 条件收敛（收敛但不绝对收敛）。则对任意 $s \in \overline{\mathbb{R}}$ （即任意实数，或 $\pm\infty$ ）都存在双射 $\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 使

\sum_{n=1}^{\infty} a_{\sigma(n)} = s

并且也存在重排使其部分和不收敛。

说明

⭐ 这是初等分析里最反直觉的反例之一：同一个级数、同样的项、同样的顺序集合，换个次序结果可以是你想要的任何数。

⭐ 机制：条件收敛时正项之和与负项之和各自都是 $+\infty$ 与 $-\infty$ （绝对值意义下），但两者抵消得刚好。于是可以「加正项直到超过 $s$ ，再加负项直到低于 $s$ 」，来回一次比一次更接近 —— 因为通项趋于零，这个过程收敛到 $s$ 。

⚠ 反过来：绝对收敛时重排不变（见「重排不变性」）。所以「重排」这个操作恰好把两个世界分开了。

谁指向它（入边）

推出 1

条件收敛 ⟹ 本页推出

条件收敛 $\implies$ 重排可以任意指定和
设 $\sum a_n$ 条件收敛。记 $p_n := a_n^{+}$ 、 $q_n := a_n^{-}$ （正部与负部），则 $\sum a_n = \sum p_n - \sum q_n$ 收敛。
1. 两个非负级数都发散：若 $\sum p_n$ 与 $\sum q_n$ 都收敛，则 $\sum |a_n| = \sum p_n + \sum q_n$ 收敛，与条件收敛矛盾；若只有一个收敛，则另一个必须也收敛（因为 $\sum a_n$ 收敛），同样矛盾。故 $\sum p_n = \sum q_n = +\infty$ 。
2. 构造重排：给定实数 $s$ ，先把正项按原顺序取出、逐项加到部分和上，直到部分和 $> s$ 为止（可以做到，因为正项之和发散）；再把负项逐项取来，直到部分和 $< s$ （同样可以做到）。如此反复。
3. 收敛到 $s$ ：每次「越界」的那一步所加的项，其绝对值不超过「跨过 $s$ 之前与 $s$ 的距离」，而由于 $a_n \to 0$ ，越界的幅度随步骤趋于零（可以先用 $a_n \to 0$ 挑选出「每个正项、负项的绝对值都 $< \varepsilon$ 」的尾部来开工）。于是构造出的部分和与 $s$ 的距离趋于零。
4. 若想收敛到 $+\infty$ ：只加正项（每次都加到超过当前高度再加一点）；想不收敛：把正负两堆交替使用但间隔越拉越大。∎
第 1 步是全部的关键：条件收敛 = 正部与负部各自发散、但两者之差收敛。这条证明也是「 $a_n \to 0$ 是必要条件」最有价值的一次使用。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3

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