Cauchy 凝聚判别法

定理：Cauchy 凝聚判别法（按 $2^{k}$ 分组）

定理
依赖深度 layer 16
分析学
数项级数的敛散性

thm.cauchy-condensation · 定理 · 级数 · 收敛

陈述

设 $a_n \ge 0$ 且递减。则原级数与「按 $2^{k}$ 抽出来的那一个」同敛散，即

\sum_{n=1}^{\infty} a_n < +\infty \iff \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}\, a_{2^{k}} < +\infty

说明

⭐ 它是「按 $2$ 的幂分组」的正式化：把下标落在 $[2^{k}, 2^{k+1})$ 里的项全部换成该段最小的那一项（ $a_{2^{k+1}}$ ）或最大的那一项（ $a_{2^{k}}$ ），两边夹住即得。

⭐ 威力示例： $\sum \frac{1}{n \ln n}$ 的敛散性 —— 凝聚后变成 $\sum \frac{2^{k}}{2^{k} \ln 2^{k}} = \frac{1}{\ln 2}\sum \frac{1}{k}$ ，一眼看出发散。

⚠ 条件是 $a_n$ 非负且递减（分组替换才成立）。

⚠ 它同样不是 Kummer 的推论 —— 它连「比值」都不看。

谁指向它（入边）

推出 1

比较判别法 ⟹ 本页推出

按 $2^{k}$ 分组 + 比较 $\implies$ 凝聚判别法

设 $a_n \ge 0$ 递减。对每个 $k \ge 0$ ，下标落在 $[2^{k}, 2^{k+1})$ 里的项共 $2^{k}$ 个，且都在 $a_{2^{k+1}}$ 与 $a_{2^{k}}$ 之间。于是
$2^{k}\, a_{2^{k+1}} \le \sum_{n = 2^{k}}^{2^{k+1}-1} a_n \le 2^{k}\, a_{2^{k}}$
对 $k = 0, \ldots, K-1$ 求和：
$\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K} 2^{k} a_{2^{k}} \le \sum_{n=1}^{2^{K}-1} a_n \le \sum_{k=0}^{K-1} 2^{k} a_{2^{k}}$
（左端用了 $\sum_k 2^{k} a_{2^{k+1}} = \frac{1}{2}\sum_{j} 2^{j} a_{2^{j}}$ 的重编号。）两个不等式把「原级数的部分和」与「凝聚级数的部分和」互相压住，由比较判别法两者同敛散。∎

「 $\frac{1}{2}$ 因子」说明为什么两边的常数不重要 —— 有界性只关心有没有界，不关心界是多少。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3

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