条件收敛

条件收敛（Conditional Convergence）

定义
依赖深度 layer 16
分析学
数项级数的敛散性

def.conditional-convergence · 定义 · 级数 · 收敛

陈述

称实（或复）级数 $\sum a_n$ 条件收敛，当且仅当它收敛，但 $\sum |a_n|$ 发散。

典型例子是交错调和级数：

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2

它收敛，而取绝对值之后就是发散的调和级数。

说明

⭐ 条件收敛的级数是脆弱的：Riemann 重排定理说，它的项可以被重新排列成收敛到任意事先指定的值（甚至发散到 $\pm\infty$ ）。所以对它做任何「交换次序」的动作都必须先证明合法性。

⚠ 交错调和级数收敛到 $\ln 2$ ，但把「一个正项、两个负项」这样重排之后会收敛到 $\frac{1}{2}\ln 2$ —— 同一个级数、同样的项、不同的和。

⭐ 判据层面：条件收敛只能用 Abel–Dirichlet 那一族来判（正项判据全部失灵）。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Riemann 重排定理推出

条件收敛 $\implies$ 重排可以任意指定和
设 $\sum a_n$ 条件收敛。记 $p_n := a_n^{+}$ 、 $q_n := a_n^{-}$ （正部与负部），则 $\sum a_n = \sum p_n - \sum q_n$ 收敛。
1. 两个非负级数都发散：若 $\sum p_n$ 与 $\sum q_n$ 都收敛，则 $\sum |a_n| = \sum p_n + \sum q_n$ 收敛，与条件收敛矛盾；若只有一个收敛，则另一个必须也收敛（因为 $\sum a_n$ 收敛），同样矛盾。故 $\sum p_n = \sum q_n = +\infty$ 。
2. 构造重排：给定实数 $s$ ，先把正项按原顺序取出、逐项加到部分和上，直到部分和 $> s$ 为止（可以做到，因为正项之和发散）；再把负项逐项取来，直到部分和 $< s$ （同样可以做到）。如此反复。
3. 收敛到 $s$ ：每次「越界」的那一步所加的项，其绝对值不超过「跨过 $s$ 之前与 $s$ 的距离」，而由于 $a_n \to 0$ ，越界的幅度随步骤趋于零（可以先用 $a_n \to 0$ 挑选出「每个正项、负项的绝对值都 $< \varepsilon$ 」的尾部来开工）。于是构造出的部分和与 $s$ 的距离趋于零。
4. 若想收敛到 $+\infty$ ：只加正项（每次都加到超过当前高度再加一点）；想不收敛：把正负两堆交替使用但间隔越拉越大。∎
第 1 步是全部的关键：条件收敛 = 正部与负部各自发散、但两者之差收敛。这条证明也是「 $a_n \to 0$ 是必要条件」最有价值的一次使用。

谁指向它（入边）

定义引用 1

绝对收敛 → 本页定义引用

条件收敛 = 收敛且不绝对收敛，所以它的定义必须先有「绝对收敛」这个词。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3

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