绝对收敛 ⟹ 收敛

先设 $a_n \ge 0$。 记 $S := \sum a_n \in [0, +\infty]$。任取双射 $\sigma$。

1. 对每个 $N$，$\sum_{n \le N} a_{\sigma(n)} \le S$（有限个项是原级数的一个有限部分）。取上确界得 $\sum_n a_{\sigma(n)} \le S$。
2. 反过来把 $\sigma^{-1}$ 代进去（同一条推理用在 $\sigma^{-1}$ 上，把 $\sum a_n$ 看成 $\sum a_{\sigma(n)}$ 的重排）得 $S \le \sum_n a_{\sigma(n)}$。
3. 故两者相等（有限或同时为 $+\infty$）；特别地 $\sum a_n < \infty$ 时重排也收敛且和相同。

一般情形。 写 $a_n = a_n^{+} - a_n^{-}$，其中 $a^{\pm} := \frac{|a_n| \pm a_n}{2} \ge 0$。由 $0 \le a_n^{\pm} \le |a_n|$，两个非负级数都收敛；对它们各用上面的结论，再相减：

绝对收敛性同理（$\sum |a_{\sigma(n)}| = \sum |a_n| < \infty$，来自非负情形）。∎

设 $\sum |a_n|$ 收敛。由级数的 Cauchy 准则，给定 $\varepsilon > 0$ 存在 $N$ 使 $n > m \ge N$ 时 $\sum_{k=m+1}^{n} |a_k| < \varepsilon$。由三角不等式

再一次用 Cauchy 准则，$\sum a_n$ 收敛。

关于和的不等式：对每个 $N$ 有 $|\sum_{n \le N} a_n| \le \sum_{n \le N} |a_n|$，两边令 $N \to \infty$ 并注意绝对值函数连续即得。∎