Kummer 判别法

定理：Kummer 判别法（正项级数判据的总纲）

定理
依赖深度 layer 16
分析学
数项级数的敛散性

thm.kummer · 定理 · 级数 · 收敛 · Kummer

陈述

设 $\sum a_n$ 是正项级数（ $a_n > 0$ ）， $\{c_n\}$ 是一列正数。令

K_n := c_n \cdot \frac{a_n}{a_{n+1}} - c_{n+1}

则：

收敛：若 $\liminf_{n \to \infty} K_n > 0$ ，则 $\sum a_n$ 收敛；
发散：若 $\sum \frac{1}{c_n}$ 发散，且 $K_n \le 0$ 对充分大的 $n$ 成立，则 $\sum a_n$ 发散。

说明

⭐ 这一条是正项级数判据的总纲：所有「比值型」的判别法都是它取不同的 $\{c_n\}$ 得到的 ——

$c_n = 1$ ：d'Alembert（比值）判别法 —— $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ 收敛、 $> 1$ 发散；
$c_n = n$ ：Raabe 判别法 —— $\lim n\bigl(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\bigr) > 1$ 收敛；
$c_n = n \ln n$ ：Bertrand 判别法 —— 比 Raabe 更细的一档；
$c_n$ 由 Gauss 展开给出：Gauss 判别法 —— 处理 $a_n/a_{n+1} = 1 + \frac{\mu}{n} + O(n^{-1-\delta})$ 那一类。

⚠ 收敛那一支要求的是 $\liminf K_n > 0$ （不是 $\lim K_n$ ，也不是某一个 $K_n > 0$ ）。

⚠ 发散那一支多一个条件「 $\sum 1/c_n$ 发散」—— 取 $c_n = 1$ 时它就是 $\sum 1$ 发散，取 $c_n = n$ 时是调和级数发散，都不是免费的。

⚠ 哪些不是它的推论：比较判别法（更基础）、根值判别法（走 $\limsup$ 与几何级数比较那条路，与 Kummer 不可互推；反倒是「比值极限存在 $\implies$ 根值极限存在且相等」，所以根值更强）、积分判别法与凝聚判别法（一个换成反常积分、一个按 $2^k$ 分组）。这四条各留一个节点。

谁指向它（入边）

推出 1

比较判别法 ⟹ 本页推出

比较判别法 $\implies$ Kummer 判别法

记 $K_n := c_n \frac{a_n}{a_{n+1}} - c_{n+1}$ 。
收敛支：设 $n \ge N_0$ 时 $K_n \ge \delta > 0$ 。把它写成
$c_n a_n - c_{n+1} a_{n+1} \ge \delta\, a_{n+1}$
对 $n = N_0, \ldots, M-1$ 求和，左端裂项： $c_{N_0} a_{N_0} - c_M a_M \ge \delta \sum_{n = N_0}^{M-1} a_{n+1}$ 。左端 $\le c_{N_0} a_{N_0}$ （因为 $c_M a_M > 0$ ），故
$\sum_{n = N_0}^{M-1} a_{n+1} \le \frac{c_{N_0} a_{N_0}}{\delta}$
对一切 $M$ 成立 —— 部分和有界，由比较判别法（或直接由单调有界）收敛。
发散支：设 $\sum 1/c_n$ 发散且 $n \ge N_0$ 时 $K_n \le 0$ ，即 $c_n a_n \le c_{n+1} a_{n+1}$ 。于是 $\{c_n a_n\}$ 递增，特别地 $c_n a_n \ge c_{N_0} a_{N_0} =: \gamma > 0$ ，从而
$a_n \ge \frac{\gamma}{c_n}$
由 $\sum 1/c_n$ 发散与比较判别法， $\sum a_n$ 发散。∎

裂项是这一族判别法的共同机制： $K_n$ 的设计就是要让 $c_n a_n - c_{n+1}a_{n+1}$ 塌缩成一个望远镜和。（把 $c_n$ 取成 $1, n, n\ln n$ 就分别得到 d'Alembert、Raabe、Bertrand。）

参考

Knopp, Theory and Application of Infinite Series
Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3

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