Abel–Dirichlet 判别法

设 $R = 1$、$\sum a_n$ 收敛，要证 $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \sum a_n$。记 $s := \sum_{n} a_n$、$s_N := \sum_{n \le N} a_n$。

1. 分部求和（Abel 求和）：对 $0 \le x < 1$，

（证明：把 $a_n = s_n - s_{n-1}$ 代入，交换求和次序，得到 $(1-x)\sum s_n x^n$。）

1. 由 $\sum a_n = s$ 收敛，$\{s_n\}$ 有界，且 $s_n \to s$。把上式改写成

1. 给定 $\varepsilon > 0$，取 $N$ 使 $n \ge N$ 时 $|s_n - s| < \varepsilon / 2$。把和拆成前 $N$ 项与尾部：前 $N$ 项乘上 $(1 - x)$ 当 $x \to 1^{-}$ 时趋于零；尾部被 $(1-x)\sum_{n \ge N} \varepsilon/2 \cdot x^{n} \le \varepsilon/2$ 控制。
2. 合并：$\limsup_{x \to 1^{-}} |f(x) - s| \le \varepsilon/2 < \varepsilon$，故极限为 $s$。∎

（这里第 1 步的求和是 Abel 求和法的核心 —— 它与 Abel–Dirichlet 判别法同源：都是把一个级数换成它的部分和的加权平均。）

记 $A_n := \sum_{k \le n} a_k$，$A_{-1} := 0$，并设 $|A_n| \le M$ 对一切 $n$ 成立。

分部求和（Abel 求和）：对 $m < n$，

（把 $A_k b_k - A_{k-1} b_k$ 重排并与下一项合并。）

Dirichlet 支：$b_n \downarrow 0$ 单调时 $b_{k+1} - b_k \le 0$，于是右边三项的绝对值分别被下式控制：

最后一步用了望远镜和 $\sum_{k=m+1}^{n-1}(b_k - b_{k+1}) = b_{m+1} - b_n$。由 $b \to 0$，给定 $\varepsilon > 0$ 取 $m$ 足够大便可使尾巴 $< \varepsilon$；由级数的 Cauchy 准则，$\sum a_n b_n$ 收敛。

Abel 支：$b_n$ 单调有界时令 $b := \lim b_n$，则 $\{b_n - b\}$ 单调趋于 $0$，对 $\sum a_n (b_n - b)$ 用 Dirichlet 支；又 $\sum a_n b$ 收敛，两者相加即得。∎