Abel 第二定理

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推出 1

• 幂级数、Abel–Dirichlet 判别法 ⟹ 本页推出
  Abel–Dirichlet 判别法 $\implies$ Abel 第二定理

  设 $R = 1$、$\sum a_n$ 收敛，要证 $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \sum a_n$。记 $s := \sum_{n} a_n$、$s_N := \sum_{n \le N} a_n$。

  1. 分部求和（Abel 求和）：对 $0 \le x < 1$，

  $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n} = (1 - x)\sum_{n=0}^{\infty} s_n x^{n}$$

  （证明：把 $a_n = s_n - s_{n-1}$ 代入，交换求和次序，得到 $(1-x)\sum s_n x^n$。）

  1. 由 $\sum a_n = s$ 收敛，$\{s_n\}$ 有界，且 $s_n \to s$。把上式改写成

  $$f(x) - s = (1 - x)\sum_{n=0}^{\infty} (s_n - s)\, x^{n}$$

  1. 给定 $\varepsilon > 0$，取 $N$ 使 $n \ge N$ 时 $|s_n - s| < \varepsilon / 2$。把和拆成前 $N$ 项与尾部：前 $N$ 项乘上 $(1 - x)$ 当 $x \to 1^{-}$ 时趋于零；尾部被 $(1-x)\sum_{n \ge N} \varepsilon/2 \cdot x^{n} \le \varepsilon/2$ 控制。
  2. 合并：$\limsup_{x \to 1^{-}} |f(x) - s| \le \varepsilon/2 < \varepsilon$，故极限为 $s$。∎

  （这里第 1 步的求和是 Abel 求和法的核心 —— 它与 Abel–Dirichlet 判别法同源：都是把一个级数换成它的部分和的加权平均。）

  「$(1-x)\sum s_n x^{n}$」这个改写把 $\{s_n\}$ 的收敛性变成了权重 $(1-x)x^{n}$ 的平均 —— 权重之和恰为 $1$，所以极限读起来就是「$s_n$ 的加权平均趋于 $s$」。