幂级数

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ 收敛半径推出
  根值判别法 $\implies$ Cauchy–Hadamard 公式

  记 $b_n(x) := a_n (x - x_0)^{n}$，则 $\sqrt[n]{|b_n(x)|} = |x - x_0| \cdot \sqrt[n]{|a_n|}$。

  1. 由 $\limsup$ 的乘法性质，

  $$\limsup_{n} \sqrt[n]{|b_n(x)|} = |x - x_0| \cdot \limsup_{n} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{|x - x_0|}{R}$$

  （约定 $R = +\infty$ 时右端为 $0$、$R = 0$ 时为 $+\infty$。）

  1. 由根值判别法：上式 $< 1$ 即 $|x - x_0| < R$ 时绝对收敛；$> 1$ 即 $|x - x_0| > R$ 时发散。
  2. $|x - x_0| = R$ 时上式恰为 $1$，根值判别法在此没有结论。∎

  注意用 $\limsup$ 而非 $\lim$ 的必要性：根值判别法本身就是用 $\limsup$ 陈述的，所以这条公式才对所有幂级数（包括那些系数没有极限的）都成立。

• 本页 ⟹ Abel 第二定理推出
  Abel–Dirichlet 判别法 $\implies$ Abel 第二定理

  设 $R = 1$、$\sum a_n$ 收敛，要证 $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \sum a_n$。记 $s := \sum_{n} a_n$、$s_N := \sum_{n \le N} a_n$。

  1. 分部求和（Abel 求和）：对 $0 \le x < 1$，

  $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n} = (1 - x)\sum_{n=0}^{\infty} s_n x^{n}$$

  （证明：把 $a_n = s_n - s_{n-1}$ 代入，交换求和次序，得到 $(1-x)\sum s_n x^n$。）

  1. 由 $\sum a_n = s$ 收敛，$\{s_n\}$ 有界，且 $s_n \to s$。把上式改写成

  $$f(x) - s = (1 - x)\sum_{n=0}^{\infty} (s_n - s)\, x^{n}$$

  1. 给定 $\varepsilon > 0$，取 $N$ 使 $n \ge N$ 时 $|s_n - s| < \varepsilon / 2$。把和拆成前 $N$ 项与尾部：前 $N$ 项乘上 $(1 - x)$ 当 $x \to 1^{-}$ 时趋于零；尾部被 $(1-x)\sum_{n \ge N} \varepsilon/2 \cdot x^{n} \le \varepsilon/2$ 控制。
  2. 合并：$\limsup_{x \to 1^{-}} |f(x) - s| \le \varepsilon/2 < \varepsilon$，故极限为 $s$。∎

  （这里第 1 步的求和是 Abel 求和法的核心 —— 它与 Abel–Dirichlet 判别法同源：都是把一个级数换成它的部分和的加权平均。）

  「$(1-x)\sum s_n x^{n}$」这个改写把 $\{s_n\}$ 的收敛性变成了权重 $(1-x)x^{n}$ 的平均 —— 权重之和恰为 $1$，所以极限读起来就是「$s_n$ 的加权平均趋于 $s$」。

定义引用 2

• 指数函数 用到 本页定义引用

  $\exp$ 的级数 $\sum z^{n}/n!$ 就是一个收敛半径为 $+\infty$ 的幂级数。

• 正弦与余弦 用到 本页定义引用

  $\cos$ 与 $\sin$ 同样由幂级数定义，只保留偶次项 / 奇次项。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 级数收敛 → 本页定义引用

  幂级数就是系数为 $a_n (x - x_0)^{n}$ 的函数项级数；固定 $x$ 之后它就是一个数项级数。