一致收敛保连续

设 $f_n' \rightrightarrows g$ 且 $f_n(x_0)$ 收敛。

1. $\{f_n\}$ 一致收敛：对 $x \in [a, b]$，由中值定理存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 之间使 $f_n(x) - f_n(x_0) = f_n'(\xi)(x - x_0)$，于是

右端与 $x$ 无关且（由 $f_n(x_0)$ 收敛与 $f_n'$ 一致 Cauchy）可以任意小，故 $\{f_n\}$ 一致 Cauchy，因而一致收敛到某个 $f$；再由上一条 $f$ 连续。

1. 求导：固定 $x$，对 $h \ne 0$ 定义 $\varphi_n(h) := \frac{f_n(x + h) - f_n(x)}{h}$。由中值定理 $\varphi_n(h) = f_n'(\xi_n)$ 对某个 $\xi_n$；又对 $n \to \infty$，$\varphi_n(h) \to \frac{f(x+h) - f(x)}{h} =: \varphi(h)$。

1. 在 $n \to \infty$ 之后再令 $h \to 0$：$\varphi(h) = \lim_n \varphi_n(h) = \lim_n f_n'(\xi_n(h))$，而 $f_n' \rightrightarrows g$ 给出 $\varphi(h) \to g(x)$。两个极限交换的合法性来自 $f_n'$ 的一致收敛（同第 1 步的估计）。故 $f'(x) = g(x)$。∎

设 $x_0 \in X$，给定 $\varepsilon > 0$。

1. 由一致收敛，存在 $n$，使对一切 $x$ 有 $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon / 3$。
2. 由 $f_n$ 在 $x_0$ 连续，存在 $\delta > 0$，使 $d(x, x_0) < \delta$ 时 $|f_n(x) - f_n(x_0)| < \varepsilon / 3$。
3. 对这样的 $x$，三角不等式给出

故 $f$ 在 $x_0$ 连续。由 $x_0$ 任意，$f$ 连续。∎