导数与极限交换

设 $r < R$，取 $r < \rho < R$。

1. 在 $[x_0 - r, x_0 + r]$ 上一致收敛：$|a_n (x - x_0)^{n}| \le |a_n| \rho^{n}$，而 $\sum |a_n| \rho^{n}$ 收敛（因为 $\rho < R$），由 Weierstrass 判别法一致收敛。再由「一致收敛保连续」，$f$ 在每个这样的区间上连续，从而在 $|x - x_0| < R$ 内连续。
2. 逐项求导后的级数：$\sum n a_n (x - x_0)^{n-1}$ 的收敛半径是

（因为 $\sqrt[n]{n} \to 1$。）于是它在 $[x_0 - r, x_0 + r]$ 上也一致收敛（同样用 M-判别法）。

1. 交换求导与极限：对部分和 $S_N$（多项式）用「导数与极限可交换」：$S_N' \rightrightarrows$ 逐项求导级数，且 $S_N(x_0) = a_0$ 收敛，故 $f$ 可导且 $f' = \sum n a_n (x - x_0)^{n-1}$。
2. 逐项积分的结论对 $f$ 的部分和用「极限与积分可交换」同理。∎

设 $f_n' \rightrightarrows g$ 且 $f_n(x_0)$ 收敛。

1. $\{f_n\}$ 一致收敛：对 $x \in [a, b]$，由中值定理存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 之间使 $f_n(x) - f_n(x_0) = f_n'(\xi)(x - x_0)$，于是

右端与 $x$ 无关且（由 $f_n(x_0)$ 收敛与 $f_n'$ 一致 Cauchy）可以任意小，故 $\{f_n\}$ 一致 Cauchy，因而一致收敛到某个 $f$；再由上一条 $f$ 连续。

1. 求导：固定 $x$，对 $h \ne 0$ 定义 $\varphi_n(h) := \frac{f_n(x + h) - f_n(x)}{h}$。由中值定理 $\varphi_n(h) = f_n'(\xi_n)$ 对某个 $\xi_n$；又对 $n \to \infty$，$\varphi_n(h) \to \frac{f(x+h) - f(x)}{h} =: \varphi(h)$。

1. 在 $n \to \infty$ 之后再令 $h \to 0$：$\varphi(h) = \lim_n \varphi_n(h) = \lim_n f_n'(\xi_n(h))$，而 $f_n' \rightrightarrows g$ 给出 $\varphi(h) \to g(x)$。两个极限交换的合法性来自 $f_n'$ 的一致收敛（同第 1 步的估计）。故 $f'(x) = g(x)$。∎