逐点收敛

逐点收敛（Pointwise Convergence）

def.pointwise-convergence · 定义 · 函数列 · 收敛

陈述

设 fn:X→Rf_n : X \to \mathbb{R}（n=1,2,…n = 1, 2, \ldots）与 f:X→Rf : X \to \mathbb{R}。称 {fn}\{f_n\} 逐点收敛到 ff，当且仅当对每个固定的 x∈Xx \in X 都有

∀ε>0, ∃N, ∀n≥N: ∣fn(x)−f(x)∣<ε\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n \ge N :\ |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon

记 fn→ff_n \to f（逐点）。

说明

⭐ 注意量词的顺序：∃N\exists N 出现在 ∀x\forall x 之后 —— 所以这里的 NN 可以依赖 ε\varepsilon 和 xx。每个人各用一个自己的 NN，没人管别人。

⚠ 逐点收敛太弱：极限函数可以不连续，极限与积分可以不交换。例：fn(x)=xnf_n(x) = x^{n} 在 [0,1][0, 1] 上逐点收敛到「x<1x < 1 时为 00、x=1x = 1 时为 11」的间断函数。

⭐ 逐点收敛是「点态」概念，逐点验证即可；困难全在能否把 xx 用一个统一的 NN 管住上。

它指向谁（出边）

定义引用 1

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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