Dini 定理

谁指向它（入边）

推出 1

• 一致收敛、连续、紧 ⟹ 本页推出
  紧性 + 单调 + 连续性 $\implies$ Dini 定理

  以 $f_n \uparrow f$ 为例（$f_n \downarrow f$ 时对 $-f_n$ 用同样的论证）。给定 $\varepsilon > 0$。

  1. 对每个 $x \in X$，由逐点单调收敛存在 $n_x$ 使 $0 \le f(x) - f_{n_x}(x) < \varepsilon$（这里用到了「$f_n(x)$ 单调递增地收敛到 $f(x)$」）。
  2. 由 $f$ 与 $f_{n_x}$ 都连续，存在 $x$ 的邻域 $U_x$ 使 $y \in U_x$ 时 $|f(y) - f(x)| < \varepsilon$ 且 $|f_{n_x}(y) - f_{n_x}(x)| < \varepsilon$。合并：$y \in U_x$ 时 $f(y) - f_{n_x}(y) < 3\varepsilon$。
  3. $\{U_x\}_{x \in X}$ 是紧空间 $X$ 的开覆盖，取出有限子覆盖 $U_{x_1}, \ldots, U_{x_k}$，令 $N := \max\{n_{x_1}, \ldots, n_{x_k}\}$。
  4. 对任意 $y \in X$，$y$ 落在某个 $U_{x_j}$ 里；由单调性 $n \ge N \ge n_{x_j}$ 时 $f_{n}(y) \ge f_{n_{x_j}}(y)$，于是 $f(y) - f_n(y) \le f(y) - f_{n_{x_j}}(y) < 3\varepsilon$。

  故 $\sup_y |f(y) - f_n(y)| \le 3\varepsilon$ 对一切 $n \ge N$ 成立，即 $f_n \rightrightarrows f$。∎

  第 4 步是单调性唯一出场的地方：它把「$n = n_{x_j}$ 时误差小」升级成「一切 $n \ge N$ 时误差小」。没有单调性，有限覆盖给出的只是一列互不相干的点。