Weierstrass 判别法

命题：Weierstrass 判别法（ $M$ -判别法）

命题
依赖深度 layer 17
分析学
函数列、幂级数与初等函数

prop.weierstrass-m-test · 命题 · 函数列 · 级数 · 收敛

陈述

设 $f_n : X \to \mathbb{R}$ 满足 $|f_n(x)| \le M_n$ 对一切 $x \in X$ 成立，且正项级数 $\sum M_n$ 收敛。则函数项级数

\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)

在 $X$ 上一致收敛（并且绝对收敛）。

说明

⭐ 它是一致收敛最好用的判据：把「函数的事」压成「数列的事」—— 只要找到一个与 $x$ 无关的控制级数。

⚠ 它给出的是充分条件：一致收敛的级数未必有这种「逐项统一控制」（ $\sum \frac{(-1)^{n}}{n}$ 型的例子）。

⭐ 用法：幂级数在 $|x| \le r < R$ 上一致收敛，正是取 $M_n = |a_n| r^{n}$ 并对 $\sum M_n$ 用根值判别法。这一条是下一段「幂级数」全部性质的入口。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 幂级数的逐项运算推出

M-判别法 + 导数交换 $\implies$ 幂级数可逐项求导
设 $r < R$ ，取 $r < \rho < R$ 。
1. 在 $[x_0 - r, x_0 + r]$ 上一致收敛： $|a_n (x - x_0)^{n}| \le |a_n| \rho^{n}$ ，而 $\sum |a_n| \rho^{n}$ 收敛（因为 $\rho < R$ ），由 Weierstrass 判别法一致收敛。再由「一致收敛保连续」， $f$ 在每个这样的区间上连续，从而在 $|x - x_0| < R$ 内连续。
2. 逐项求导后的级数： $\sum n a_n (x - x_0)^{n-1}$ 的收敛半径是
$\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{n|a_n|}} = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}} = R$
（因为 $\sqrt[n]{n} \to 1$ 。）于是它在 $[x_0 - r, x_0 + r]$ 上也一致收敛（同样用 M-判别法）。
1. 交换求导与极限：对部分和 $S_N$ （多项式）用「导数与极限可交换」： $S_N' \rightrightarrows$ 逐项求导级数，且 $S_N(x_0) = a_0$ 收敛，故 $f$ 可导且 $f' = \sum n a_n (x - x_0)^{n-1}$ 。
2. 逐项积分的结论对 $f$ 的部分和用「极限与积分可交换」同理。∎
第 2 步是整条定理的关键：求导不改变收敛半径。若半径会缩，反复求导就会把收敛域吃光， $C^{\infty}$ 的结论也就无从谈起。

谁指向它（入边）

推出 1

比较判别法、一致 Cauchy 列 ⟹ 本页推出

比较判别法 + 一致 Cauchy $\implies$ Weierstrass 判别法

设 $|f_n(x)| \le M_n$ 、 $\sum M_n$ 收敛。记部分和 $S_N(x) := \sum_{n \le N} f_n(x)$ 。
对 $N' > N$ ，
$|S_{N'}(x) - S_N(x)| \le \sum_{n = N+1}^{N'} |f_n(x)| \le \sum_{n = N+1}^{N'} M_n$
右端与 $x$ 无关，而 $\sum M_n$ 收敛（由数项级数的 Cauchy 准则）使它可以任意小 —— 所以 $\{S_N\}$ 是一致 Cauchy 列，因而一致收敛。绝对收敛同理（ $\sum |f_n(x)| \le \sum M_n$ ）。∎

证明的要害是「右端与 $x$ 无关」这一步：把 $x$ 从估计里彻底消掉，就得到了一致性。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 7

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