一致 Cauchy 列

一致 Cauchy 列（Uniformly Cauchy）

定义
依赖深度 layer 16
分析学
函数列、幂级数与初等函数

def.uniform-cauchy · 定义 · 函数列 · 收敛

陈述

称 $\{f_n\}$ 是一致 Cauchy 列，当且仅当

\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall m, n \ge N,\ \forall x \in X :\ |f_m(x) - f_n(x)| < \varepsilon

即 $\sup_{x} |f_m(x) - f_n(x)| \to 0$ （ $m, n \to \infty$ ）。

说明

⭐ 与一致收敛的关系： $\{f_n\}$ 一致收敛（到某个函数） $\iff$ 它是一致 Cauchy 列 —— 证明与数列情形同构：必要性是三角不等式，充分性是「每个 $x$ 上逐点收敛（数列完备），再用一致 Cauchy 性把 $m \to \infty$ 取掉」。

⭐ 它的价值在于不必先知道极限函数是谁：验证一致 Cauchy 只看 $\{f_n\}$ 自己。Weierstrass 判别法就是靠它把「一致收敛」化归成「尾部的上确界和可以任意小」。

⚠ 逐点 Cauchy（对每个 $x$ ，数列 $\{f_n(x)\}$ 是 Cauchy）弱于一致 Cauchy，恰如逐点收敛弱于一致收敛。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Weierstrass 判别法推出

比较判别法 + 一致 Cauchy $\implies$ Weierstrass 判别法

设 $|f_n(x)| \le M_n$ 、 $\sum M_n$ 收敛。记部分和 $S_N(x) := \sum_{n \le N} f_n(x)$ 。
对 $N' > N$ ，
$|S_{N'}(x) - S_N(x)| \le \sum_{n = N+1}^{N'} |f_n(x)| \le \sum_{n = N+1}^{N'} M_n$
右端与 $x$ 无关，而 $\sum M_n$ 收敛（由数项级数的 Cauchy 准则）使它可以任意小 —— 所以 $\{S_N\}$ 是一致 Cauchy 列，因而一致收敛。绝对收敛同理（ $\sum |f_n(x)| \le \sum M_n$ ）。∎

证明的要害是「右端与 $x$ 无关」这一步：把 $x$ 从估计里彻底消掉，就得到了一致性。

谁指向它（入边）

定义引用 1

一致收敛 → 本页定义引用

一致 Cauchy 是把一致收敛的定义里「与 $f$ 比较」换成「 $f_m$ 与 $f_n$ 互相比较」，量词形状不变。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 7

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