对数函数与 e

对数函数 $\log$ 与常数 $e$

def.log-function · 定义 · 初等函数

陈述

$\exp$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增（因为 $(\exp x)' = \exp x > 0$ ），其像为 $(0, +\infty)$ 。定义 $\log : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ 为它的反函数：

\log := (\exp|_{\mathbb{R}})^{-1}, \qquad e := \exp 1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}

于是

\log(xy) = \log x + \log y, \qquad \frac{d}{dx}\log x = \frac{1}{x}

⭐ 反函数连续且单调（见「反函数连续」），导数由反函数求导得到。

⚠ $\log$ 的定义域是 $(0, +\infty)$ —— 在 $\mathbb{R}$ 上 $\exp$ 取不到非正值，所以 $\log$ 也没有负数输入（复对数要另开一支，那里有分支切割的问题）。

⭐ $e$ 的两个常见面孔在这里统一： $e = \exp 1 = \sum 1/n!$ 与 $e = \lim_n (1 + 1/n)^{n}$ 可以互相推出，但前者是定义、后者是定理。

指数函数 → 本页定义引用

$\log$ 定义为 $\exp$ （限制在 $\mathbb{R}$ 上）的反函数，所以它的存在性来自 $\exp$ 的单调性。