幂级数的逐项运算

谁指向它（入边）

推出 1

• 导数与极限交换、Weierstrass 判别法、收敛半径 ⟹ 本页推出
  M-判别法 + 导数交换 $\implies$ 幂级数可逐项求导

  设 $r < R$，取 $r < \rho < R$。

  1. 在 $[x_0 - r, x_0 + r]$ 上一致收敛：$|a_n (x - x_0)^{n}| \le |a_n| \rho^{n}$，而 $\sum |a_n| \rho^{n}$ 收敛（因为 $\rho < R$），由 Weierstrass 判别法一致收敛。再由「一致收敛保连续」，$f$ 在每个这样的区间上连续，从而在 $|x - x_0| < R$ 内连续。
  2. 逐项求导后的级数：$\sum n a_n (x - x_0)^{n-1}$ 的收敛半径是

  $$\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{n|a_n|}} = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}} = R$$

  （因为 $\sqrt[n]{n} \to 1$。）于是它在 $[x_0 - r, x_0 + r]$ 上也一致收敛（同样用 M-判别法）。

  1. 交换求导与极限：对部分和 $S_N$（多项式）用「导数与极限可交换」：$S_N' \rightrightarrows$ 逐项求导级数，且 $S_N(x_0) = a_0$ 收敛，故 $f$ 可导且 $f' = \sum n a_n (x - x_0)^{n-1}$。
  2. 逐项积分的结论对 $f$ 的部分和用「极限与积分可交换」同理。∎

  第 2 步是整条定理的关键：求导不改变收敛半径。若半径会缩，反复求导就会把收敛域吃光，$C^{\infty}$ 的结论也就无从谈起。