积分与极限交换

定理：一致收敛 $\implies$ 极限与积分可交换（Riemann 版）

定理
依赖深度 layer 18
分析学
函数列、幂级数与初等函数

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陈述

设 $f_n$ 在 $[a, b]$ 上可积、 $f_n \rightrightarrows f$ 。则 $f$ 可积，且

不但极限存在，而且可以给出误差估计：

\Bigl| \int_a^b f_n - \int_a^b f \Bigr| \le (b - a)\,\sup_{x} |f_n(x) - f(x)|

说明

⭐ 证明只有一行： $\bigl|\int f_n - \int f\bigr| \le \int |f_n - f| \le (b - a)\sup_x |f_n - f|$ ，右端由一致收敛趋于零。

⚠ 一致收敛不能换成逐点收敛： $f_n = n\,\chi_{(0, 1/n)}$ 逐点收敛到 $0$ 而 $\int f_n = 1$ 对一切 $n$ 成立。

⭐ Lebesgue 那一侧把条件放宽到「控制收敛」（存在可积的 $g$ 压住 $|f_n|$ ）—— 但必须带一个控制函数，光有逐点收敛仍不够（上面那个例子就是：没有可积的 $g$ 压住 $n\chi_{(0,1/n)}$ ）。

谁指向它（入边）

推出 1

一致收敛、积分的保序与估计 ⟹ 本页推出

一致收敛 + 积分的绝对值估计 $\implies$ 极限与积分交换
记 $\varepsilon_n := \sup_{x \in [a, b]} |f_n(x) - f(x)|$ 。
1. 可积性： $f = f_n + (f - f_n)$ ，其中 $f_n$ 可积、而 $f - f_n$ 被常数 $\varepsilon_n$ 控制；用振幅判据， $\omega(f - f_n) \le 2\varepsilon_n$ 逐段成立，故 $f - f_n$ 可积，从而 $f$ 可积。（也可以直接对 $f$ 用振幅判据与 $f_n$ 的振幅比较。）
2. 估计：由积分的绝对值不等式与基本估计，
$\Bigl| \int_a^b f_n - \int_a^b f \Bigr| = \Bigl| \int_a^b (f_n - f) \Bigr| \le \int_a^b |f_n - f| \le (b - a)\,\varepsilon_n$
1. 由一致收敛 $\varepsilon_n \to 0$ ，右端趋于零，故极限与积分可交换。∎
整个证明里没有一次提到具体是哪个 $x$ —— 误差被一个与 $x$ 无关的常数 $\varepsilon_n$ 统一控制，这就是一致收敛的力量。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 7

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