收敛半径

定理：Cauchy–Hadamard 收敛半径

定理
依赖深度 layer 17
分析学
函数列、幂级数与初等函数

thm.convergence-radius · 定理 · 幂级数 · 收敛

陈述

设 $\sum a_n (x - x_0)^{n}$ 是幂级数，令（约定 $1/0 = +\infty$ 、 $1/{+\infty} = 0$ ）

R := \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}

则： $|x - x_0| < R$ 时级数绝对收敛； $|x - x_0| > R$ 时级数发散； $|x - x_0| = R$ 时无结论。

说明

⭐ $R$ 叫收敛半径， $(x_0 - R, x_0 + R)$ 叫收敛区间。证明就是对系数用根值判别法： $\limsup \sqrt[n]{|a_n (x - x_0)^{n}|} = |x - x_0| \cdot \limsup \sqrt[n]{|a_n|}$ 。

⚠ 这里用的必须是 $\limsup$ 而不是 $\lim$ ： $\sqrt[n]{|a_n|}$ 未必收敛。

⚠ $|x - x_0| = R$ 处三种情形都可能出现（ $\sum x^{n}$ 两端都发散、 $\sum x^{n}/n$ 一端收敛一端发散、 $\sum x^{n}/n^{2}$ 两端都收敛）。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 幂级数的逐项运算推出

M-判别法 + 导数交换 $\implies$ 幂级数可逐项求导
设 $r < R$ ，取 $r < \rho < R$ 。
1. 在 $[x_0 - r, x_0 + r]$ 上一致收敛： $|a_n (x - x_0)^{n}| \le |a_n| \rho^{n}$ ，而 $\sum |a_n| \rho^{n}$ 收敛（因为 $\rho < R$ ），由 Weierstrass 判别法一致收敛。再由「一致收敛保连续」， $f$ 在每个这样的区间上连续，从而在 $|x - x_0| < R$ 内连续。
2. 逐项求导后的级数： $\sum n a_n (x - x_0)^{n-1}$ 的收敛半径是
$\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{n|a_n|}} = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}} = R$
（因为 $\sqrt[n]{n} \to 1$ 。）于是它在 $[x_0 - r, x_0 + r]$ 上也一致收敛（同样用 M-判别法）。
1. 交换求导与极限：对部分和 $S_N$ （多项式）用「导数与极限可交换」： $S_N' \rightrightarrows$ 逐项求导级数，且 $S_N(x_0) = a_0$ 收敛，故 $f$ 可导且 $f' = \sum n a_n (x - x_0)^{n-1}$ 。
2. 逐项积分的结论对 $f$ 的部分和用「极限与积分可交换」同理。∎
第 2 步是整条定理的关键：求导不改变收敛半径。若半径会缩，反复求导就会把收敛域吃光， $C^{\infty}$ 的结论也就无从谈起。

谁指向它（入边）

推出 1

根值判别法、幂级数 ⟹ 本页推出

根值判别法 $\implies$ Cauchy–Hadamard 公式
记 $b_n(x) := a_n (x - x_0)^{n}$ ，则 $\sqrt[n]{|b_n(x)|} = |x - x_0| \cdot \sqrt[n]{|a_n|}$ 。
1. 由 $\limsup$ 的乘法性质，
$\limsup_{n} \sqrt[n]{|b_n(x)|} = |x - x_0| \cdot \limsup_{n} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{|x - x_0|}{R}$
（约定 $R = +\infty$ 时右端为 $0$ 、 $R = 0$ 时为 $+\infty$ 。）
1. 由根值判别法：上式 $< 1$ 即 $|x - x_0| < R$ 时绝对收敛； $> 1$ 即 $|x - x_0| > R$ 时发散。
2. $|x - x_0| = R$ 时上式恰为 $1$ ，根值判别法在此没有结论。∎
注意用 $\limsup$ 而非 $\lim$ 的必要性：根值判别法本身就是用 $\limsup$ 陈述的，所以这条公式才对所有幂级数（包括那些系数没有极限的）都成立。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 8

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