根值判别法

记 $b_n(x) := a_n (x - x_0)^{n}$，则 $\sqrt[n]{|b_n(x)|} = |x - x_0| \cdot \sqrt[n]{|a_n|}$。

1. 由 $\limsup$ 的乘法性质，

（约定 $R = +\infty$ 时右端为 $0$、$R = 0$ 时为 $+\infty$。）

1. 由根值判别法：上式 $< 1$ 即 $|x - x_0| < R$ 时绝对收敛；$> 1$ 即 $|x - x_0| > R$ 时发散。
2. $|x - x_0| = R$ 时上式恰为 $1$，根值判别法在此没有结论。∎

$\alpha < 1$：取 $q$ 使 $\alpha < q < 1$。由 $\limsup \sqrt[n]{a_n} = \alpha < q$，存在 $N$ 使 $n \ge N$ 时 $\sqrt[n]{a_n} < q$，即 $a_n < q^{n}$。几何级数 $\sum q^{n}$ 收敛，由比较判别法 $\sum a_n$ 收敛。

$\alpha > 1$：此时 $\sqrt[n]{a_n} > 1$ 对无穷多个 $n$ 成立（否则 $\limsup \le 1$），即 $a_n > 1$ 对无穷多个 $n$ 成立。于是 $a_n \not\to 0$，由级数的必要条件（Cauchy 准则）发散。

$\alpha = 1$：$a_n = 1/n$（发散）与 $a_n = 1/n^{2}$（收敛）都满足 $\limsup \sqrt[n]{a_n} = 1$，故无结论。

与比值判别法的比较：若 $a_{n+1}/a_n \to L$，则 $\sqrt[n]{a_n} \to L$（取对数后用 Cesàro 平均），故比值能判的根值也能判；反之（$a_n = 2^{-n+(-1)^{n}}$）不成立。∎