绝对收敛

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ 重排不变性推出
  绝对收敛 $\implies$ 重排不变

  先设 $a_n \ge 0$。 记 $S := \sum a_n \in [0, +\infty]$。任取双射 $\sigma$。

  1. 对每个 $N$，$\sum_{n \le N} a_{\sigma(n)} \le S$（有限个项是原级数的一个有限部分）。取上确界得 $\sum_n a_{\sigma(n)} \le S$。
  2. 反过来把 $\sigma^{-1}$ 代进去（同一条推理用在 $\sigma^{-1}$ 上，把 $\sum a_n$ 看成 $\sum a_{\sigma(n)}$ 的重排）得 $S \le \sum_n a_{\sigma(n)}$。
  3. 故两者相等（有限或同时为 $+\infty$）；特别地 $\sum a_n < \infty$ 时重排也收敛且和相同。

  一般情形。 写 $a_n = a_n^{+} - a_n^{-}$，其中 $a^{\pm} := \frac{|a_n| \pm a_n}{2} \ge 0$。由 $0 \le a_n^{\pm} \le |a_n|$，两个非负级数都收敛；对它们各用上面的结论，再相减：

  $$\sum_n a_{\sigma(n)} = \sum_n a_{\sigma(n)}^{+} - \sum_n a_{\sigma(n)}^{-} = \sum_n a_n^{+} - \sum_n a_n^{-} = \sum_n a_n$$

  绝对收敛性同理（$\sum |a_{\sigma(n)}| = \sum |a_n| < \infty$，来自非负情形）。∎

  第 2 步「对 $\sigma^{-1}$ 再用一次」是关键技巧：非负级数的和定义为上确界，而「有限部分」这个说法对两个方向都成立。

• 本页 ⟹ Cauchy 乘积推出
  重排不变 + 二重和 $\implies$ Cauchy 乘积公式

  设 $A := \sum a_n$、$B := \sum b_n$ 都绝对收敛，记 $A_N := \sum_{n \le N} a_n$、$B_N := \sum_{n \le N} b_n$。

  1. 对角线与方形的关系：$A_N B_N = \sum_{m, n \le N} a_m b_n$ 是二重和的一个「方形」部分和。
  2. 绝对收敛性：$\sum_{m, n} |a_m b_n| = \bigl( \sum_m |a_m| \bigr)\bigl( \sum_n |b_n| \bigr) < \infty$（二重非负和按任一方式展布都相等），故二重绝对收敛，任一重排都不改变和，且和 $= AB$。
  3. 按对角线重排：把 $\sum_{m, n} a_m b_n$ 按 $m + n$ 分组，第 $n$ 组之和正是 $c_n = \sum_{k \le n} a_k b_{n-k}$。由第 2 步的重排不变性，$\sum c_n = AB$。
  4. $\sum c_n$ 绝对收敛：同理对 $\sum_{m,n} |a_m b_n|$ 按对角线分组，得 $\sum |c_n| \le \sum_{m,n}|a_m b_n| < \infty$。

  反例（不绝对收敛时失败）：取 $a_n = b_n = \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}$，两个级数由 Abel–Dirichlet 收敛，但 $c_n = (-1)^{n}\sum_{k \le n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$ 的绝对值 $\ge \frac{2(n+1)}{n+2} \to 2$，故 $c_n \not\to 0$，乘积级数发散。∎

  第 2 步把「一维绝对收敛」升级成「二重绝对收敛」，这一步是全部技术的来源：二重和可以按任何顺序累加 —— 包括按对角线。

定义引用 1

• 条件收敛 用到 本页定义引用

  条件收敛 = 收敛 且 不绝对收敛，所以它的定义必须先有「绝对收敛」这个词。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 级数收敛 → 本页定义引用

  绝对收敛是关于另一个级数（$\sum |a_n|$）的性质，而那个级数是正项级数 —— 用到的还是级数收敛的定义。