Cauchy 乘积

谁指向它（入边）

推出 1

• 绝对收敛、重排不变性 ⟹ 本页推出
  重排不变 + 二重和 $\implies$ Cauchy 乘积公式

  设 $A := \sum a_n$、$B := \sum b_n$ 都绝对收敛，记 $A_N := \sum_{n \le N} a_n$、$B_N := \sum_{n \le N} b_n$。

  1. 对角线与方形的关系：$A_N B_N = \sum_{m, n \le N} a_m b_n$ 是二重和的一个「方形」部分和。
  2. 绝对收敛性：$\sum_{m, n} |a_m b_n| = \bigl( \sum_m |a_m| \bigr)\bigl( \sum_n |b_n| \bigr) < \infty$（二重非负和按任一方式展布都相等），故二重绝对收敛，任一重排都不改变和，且和 $= AB$。
  3. 按对角线重排：把 $\sum_{m, n} a_m b_n$ 按 $m + n$ 分组，第 $n$ 组之和正是 $c_n = \sum_{k \le n} a_k b_{n-k}$。由第 2 步的重排不变性，$\sum c_n = AB$。
  4. $\sum c_n$ 绝对收敛：同理对 $\sum_{m,n} |a_m b_n|$ 按对角线分组，得 $\sum |c_n| \le \sum_{m,n}|a_m b_n| < \infty$。

  反例（不绝对收敛时失败）：取 $a_n = b_n = \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}$，两个级数由 Abel–Dirichlet 收敛，但 $c_n = (-1)^{n}\sum_{k \le n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$ 的绝对值 $\ge \frac{2(n+1)}{n+2} \to 2$，故 $c_n \not\to 0$，乘积级数发散。∎

  第 2 步把「一维绝对收敛」升级成「二重绝对收敛」，这一步是全部技术的来源：二重和可以按任何顺序累加 —— 包括按对角线。