级数的 Cauchy 准则

定理：级数收敛 $\iff$ 尾部可以任意小

定理
依赖深度 layer 18
分析学
数项级数的敛散性

thm.cauchy-criterion-series · 定理 · 级数 · 收敛

陈述

设 $\{a_n\} \subseteq \mathbb{R}$ ， $s_N := \sum_{n=1}^{N} a_n$ 。则 $\sum a_n$ 收敛，当且仅当

\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n > m \ge N :\ \Bigl| \sum_{k=m+1}^{n} a_k \Bigr| < \varepsilon

必要条件： $\sum a_n$ 收敛 $\implies$ $a_n \to 0$ 。

说明

⭐ 这条准则的作用是把级数问题变成数列问题：它不过是 $\mathbb{R}$ 的 Cauchy 收敛准则用在部分和数列 $\{s_N\}$ 上（配上区间可加性把 $s_n - s_m$ 写成一段尾巴）。

⚠ 「 $a_n \to 0$ 」只是必要条件：调和级数 $\sum 1/n$ 的通项趋于零而级数发散。判发散时它很有用（通项不趋于零就直接发散），判收敛时它什么也说明不了。

⭐ 整个这一包的一切判据都以它为母体：比较判别法用「尾巴被更大的尾巴压住」，Abel–Dirichlet 用「尾巴被部分和的有界性压住」。

它指向谁（出边）

推出 2

本页 ⟹ Abel–Dirichlet 判别法推出

Cauchy 准则 + 分部求和 $\implies$ Abel–Dirichlet 判别法

记 $A_n := \sum_{k \le n} a_k$ ， $A_{-1} := 0$ ，并设 $|A_n| \le M$ 对一切 $n$ 成立。
分部求和（Abel 求和）：对 $m < n$ ，
$\sum_{k=m+1}^{n} a_k b_k = \sum_{k=m+1}^{n} (A_k - A_{k-1}) b_k = A_n b_n - A_m b_{m+1} - \sum_{k=m+1}^{n-1} A_k (b_{k+1} - b_k)$
（把 $A_k b_k - A_{k-1} b_k$ 重排并与下一项合并。）
Dirichlet 支： $b_n \downarrow 0$ 单调时 $b_{k+1} - b_k \le 0$ ，于是右边三项的绝对值分别被下式控制：
$|A_n b_n| + |A_m b_{m+1}| + \sum_{k=m+1}^{n-1} |A_k|\,|b_{k+1} - b_k| \le M\Bigl( |b_n| + |b_{m+1}| + \sum_{k=m+1}^{n-1} (b_k - b_{k+1}) \Bigr) \le M\bigl( b_n + b_{m+1} + b_{m+1} - b_n \bigr) \le 4M\, b_{m+1}$
最后一步用了望远镜和 $\sum_{k=m+1}^{n-1}(b_k - b_{k+1}) = b_{m+1} - b_n$ 。由 $b \to 0$ ，给定 $\varepsilon > 0$ 取 $m$ 足够大便可使尾巴 $< \varepsilon$ ；由级数的 Cauchy 准则， $\sum a_n b_n$ 收敛。
Abel 支： $b_n$ 单调有界时令 $b := \lim b_n$ ，则 $\{b_n - b\}$ 单调趋于 $0$ ，对 $\sum a_n (b_n - b)$ 用 Dirichlet 支；又 $\sum a_n b$ 收敛，两者相加即得。∎

分部求和是这一族判别法的引擎 —— 它把「 $\sum a_n b_n$ 的尾巴」换成了「 $A_k$ 与 $b$ 的增量」，于是部分和有界（ $A$ ）与单调趋于零（ $b$ ）各自发挥一次作用。Leibniz 判别法取 $a_n = (-1)^{n}$ 即得。
本页 ⟹ 绝对收敛 ⟹ 收敛推出

级数的 Cauchy 准则 $\implies$ 绝对收敛蕴含收敛

设 $\sum |a_n|$ 收敛。由级数的 Cauchy 准则，给定 $\varepsilon > 0$ 存在 $N$ 使 $n > m \ge N$ 时 $\sum_{k=m+1}^{n} |a_k| < \varepsilon$ 。由三角不等式
$\Bigl| \sum_{k=m+1}^{n} a_k \Bigr| \le \sum_{k=m+1}^{n} |a_k| < \varepsilon$
再一次用 Cauchy 准则， $\sum a_n$ 收敛。
关于和的不等式：对每个 $N$ 有 $|\sum_{n \le N} a_n| \le \sum_{n \le N} |a_n|$ ，两边令 $N \to \infty$ 并注意绝对值函数连续即得。∎

证明里没有任何关于正负的假设 —— 这也是为什么它能同时对实级数和复级数成立。

谁指向它（入边）

推出 1

Cauchy 收敛准则、级数收敛 ⟹ 本页推出

实数的 Cauchy 准则 $\implies$ 级数的 Cauchy 准则

设 $s_N = \sum_{n \le N} a_n$ 。由定义， $\sum a_n$ 收敛 $\iff$ 数列 $\{s_N\}$ 收敛；而由实数的 Cauchy 收敛准则， $\{s_N\}$ 收敛 $\iff$ $\{s_N\}$ 是 Cauchy 列，即
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n > m \ge N :\ |s_n - s_m| < \varepsilon$
把 $s_n - s_m = \sum_{k=m+1}^{n} a_k$ 代进去即得所证。
必要条件： $\sum a_n$ 收敛时 $a_n = s_n - s_{n-1} \to 0$ （两个收敛数列之差）。∎

这条准则里唯一的外来输入是实数的完备性 —— 换句话说，级数收敛的判别本质上是在用 $\mathbb{R}$ 没有洞。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3

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